ACM知识点——位运算下的快速幂

如果你对 pow（2,3）的理解还停留在3个2相乘，那就太low了，其实对幂运算还有一种更快，更简洁的算法——快速幂。

其实快速幂的本质原理非常简单，我们已知 2⁴求2⁸，不就是 2⁴ * 2⁴嘛，快速幂就是这个原理。

那么现在你可能会问，如果是奇数次幂该怎么办？
2⁹就可以用 2 * 2⁸来计算嘛。

所以总结如下：

• 当b是奇数时，那么有 a^b = a * a^*(b-1)
• 当b是偶数时，那么有 a^b = a^(b/2) * a^(b/2)

const int mod = 1e9 + 9;
long long qpow(long long x, long long y)
{
    long long  ret = 1;
    x = x % mod;
    while (y)
    {
        if (y % 2 == 1)	//如果为奇数次幂
            ret = (ret * x) % mod;
        y /= 2;
        x = (x * x) % mod;
    }
    return ret % mod;
}

但是这样算依然不够快，我们要知道—— “/”运算需要40个CPU时钟；“*”运算需要4个CPU时钟；“+－”一般需要2个CPU时钟，但是，位运算只要1个！

为了提高快速幂的效率和速度，我们可以将 y % 2 == 1 改为 y & 1；将 y /= 2 改为 y >>= 1 （y右移移位并赋值）。

const int mod = 1e9 + 9;
long long qpow(long long x, long long y)
{
    long long  ret = 1;
    x = x % mod;
    while (y)
    {
        if (y & 1)  // y % 2 == 1
            ret = (ret * x) % mod;
        y >>= 1;    // y /= 2 
        x = (x * x) % mod;
    }
    return ret % mod;
}

下面给大家介绍一下简单的移位运算：
1.右移运算符（>>）
例如：11的二进制形式为：1011，然后把低位的最后两个数字移出，因为该数字是正数，所以在高位补零。则得到的最终结果是 0010。转换为十进制是 2。所以代码中 y >>= 1 的意思就是将二进制 y 右移移位并赋值，二进制下右移移位就是除以 2。

2. 按位与运算符（&）
按位与运算符"&"是双目运算符。 其功能是参与运算的两数各对应的二进位相与。只有对应的两个二进位均为1时，结果位才为1 ，否则为0。参与运算的数以补码方式出现。
例如：9&5 可写算式如下： 1001 & 0101 为 0001 ，可见 9&5=1。