L3-连续变量分布：均匀分布、指数分布、正态分布

1. 定义

如果对于随机变量 $X$的分布函数 $F(x)$，存在非负函数 $f(x)$，使得对于任意实数 $x$，有 $F(x)= \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$

则称 $X$为连续型随机变量，其中函数 $f(x)$称为 $X$的概率密度函数。

概率密度 $f(x)$具有以下性质：

• $f(x)≥0$
• $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx =1$
• $P\{x_1<X \leq x_2\} = F(x_2)-F(x_1)= \int_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx \;\;\; (x_1≤x_2)$

2. 常见连续变量分布

####（1）均匀分布
若随机变量 $X$的密度函数为
$f(x)= \begin{cases}\frac{1}{b-a}， \quad a \leq x \leq b \\ 0， \quad 其他 \\ \end{cases}$
则称随机变量 $X$服从区间 $[a,b]$上的均匀分布，记作 $X \sim U(a,b)$。

$X$的分布函数为
$F(x)= \begin{cases} 0 \quad \quad x \leq a \\ \frac{x-a}{b-a} \quad a \leq x \leq b \\ 1 \quad \quad b \leq x \end{cases}$

（2）指数分布

若随机变量X的密度函数为
$f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} \quad x>0 \\ 0 \quad \quad \; x \leq 0 \\ \end{cases}$

则称随机变量 $X$服从参数为 $\lambda$（ $\lambda>0$ 为常数）的指数分布。

$X$的分布函数为

$F(x)= \begin{cases} 1-e^{-\lambda x} \quad x>0 \\ 0 \quad \quad \quad \; x \leq 0 \\ \end{cases} \lambda>0 为常数$

（3）正态分布

若随机变量X的密度函数为
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \quad \quad (-\infty \leq x \leq +\infty)$
其中， $-\infty \leq \mu \leq +\infty,\theta>0$为参数。

则称随机变量 $X$服从参数为 $(\mu,\sigma^2)$的正态分布，记作 $X \sim N(\mu,\sigma^2)$。

若 $\mu=0,\sigma=1$，称 $N(0,1)$为标准正态分布，密度函数如下：
$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \quad (-\infty < x < +\infty)$

正态分布密度函数的图形性质：

• 曲线关于直线 $x=\mu$对称。对于任意 $h>0$，有 $P\{\mu-h<X \leq \mu\}=P\{\mu <X \leq \mu+h\}$。

• 当 $x=\mu$时， $f(x)$取到最大值 $\frac {1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}$。 $x$离 $\mu$越远， $f(x)$的值就越小。对于同样长度的区间，当区间离 $\mu$越远时，随机变量 $X$落在该区间中的概率就越小。

• $f(x)$在 $x=\mu±\sigma$处有拐点，并以 $Ox$轴为渐近线。

• 若 $\sigma$固定，改变 $\mu$的值，则 $f(x)$的图形沿 $x$轴平行移动，但不改变其形状。因此 $f(x)$图形的位置完全由参数μ确定。

• 若 $\mu$固定，改变 $\sigma$的值，由于 $f(x)$的最大值为 $\frac {1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}$，当 $\sigma$越小时， $f(x)$图形越陡， $X$落在 $\mu$附近的概率越大；反之，当 $\sigma$越大时， $f(x)$图形越平坦， $X$的取值越分散。
  

$3\sigma$原则：正态分布距离平均值 $3\sigma$之外的值出现的概率 $P\{|X-\mu|>3\sigma\}≤0.003$，属于极个别的小概率事件。