正态分布与均匀分布之间的变换

一、任何分布都能化为$[0,1]$均匀分布

　　假设$F_X(a)=p(x\le a)$为累积分布函数，$f(x)$为概率密度函数，$F_X(a)=\int_{-\infty}^af(x)dx$，则存在如下等式
　　$P(F_X(X)\le a)=P(X\le F^{-1}_X(a))=F_X(F^{-1}_X(a))=a$
　　则累积分布函数$Y=F_X(X)$服从$[0,1]$间的均匀分布。

二、通过Box-Muller-Wiener算法，可以实现正态分布与均匀分布之间的转换

1.均匀分布转为正态分布

　　两个独立的$[0,1]$均匀分布，独立的随机变量为$A,B$，以其中一个为角度$2\pi A$，另一个随机变量为半径$\sqrt{-2logB}$作为半径，在极坐标下可以得到一个点$(X,Y)$，服从二维标准正态分布。

2.正态分布转为均匀分布

　　正态分布到均匀分布的逆过程可以理解为$A=\frac{\arctan(\frac{Y}{X})}{2\pi}+0.5$，$B=\exp(\frac{X^2+Y^2}{2})$