统计学之假设检验（总体均值、总体比例、总体方差）含例题和解答

开篇引例：
某健身俱乐部欲根据往年的会员情况，制定2006年的会员发展营销策略。主管经理估计俱乐部会员的平均年龄是35岁，其中25～35岁的会员占总人数的70%。研究人员从2005年
入会的新会员中随机抽取40人，调查得知他们的平均年龄是32岁，其中25～35岁的会员占74%。根据这份调查结果，问主管经理的对会员年龄的估计是否准确？

统计学是通过假设检验的方法来解决上述问题的。
假设检验（hypothesis testing）和参数估计（parameter estimation）是统计推断的两个组成部分，它们都是利用样本对总体进行某种推断。
参数估计是用样本统计量估计总体参数的方法，总体参数在估计之前是未知的。
假设检验则是先对的值提出一个假设，然后利用样本信息去检验这个假设是否成立。

假设检验的原理

假设检验（hypothesis testing）也称为显著性检验，是事先作出一个关于总体参数的假设，然后利用样本信息来判断原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否有显著差异，从而决定应接受或否定原假设的统计推断方法。
对总体作出的统计假设进行检验的方法依据是概率论中的“小概率事件实际不可能发生”原理。

假设检验的步骤

例题：
某健身俱乐部主管经理估计会员的平均年龄是35岁，研究人员从2005年入会的新会员中随机抽取40人，调查得到他们的年龄数据如下。

试根据调查结果判断主管经理的估计是否准确？

1.提出原假设和备择假设
原假设（Null hypothesis）又称零假设，是需要通过样本推断其正确与否的命题，用H₀表示。
• 本例中可以提出：H₀: m=35；这里m表示总体会员的平均年龄，意味着总体会员的平均年龄与主管经理估计的35岁没有差异。
与原假设对立的假设是备选假设（Alternative hypothesis），用H₁表示。
• 在本例中，备选假设意味着“总体会员的平均年龄与主管经理估计的会员平均年龄35岁
有显著差异”，可以表示为H₁ : m≠35。
原假设与备选假设互斥，检验结果二者必取其一。

原假设
1 陈述需要检验的假设
2 零假设用 H₀ 表示
3 代表“正常”的情形
4 总是包含等号“=”
5 检验以“假定原假设为真”开始

备择假设
1 为原假设的对立情况
2 备择假设用H₁表示
3 代表“不能轻易肯定的情况”
4 很少包含等号

2.确定适当的检验统计量
假设检验需要借助样本统计量进行统计推断，称为检验统计量。不同的假设检验问题需要选择不同的检验统计量。
在具体问题中，选择什么统计量，需要考虑的因素有：总体方差已知还是未知，用于进行检验的样本是大样本还是小样本，等等。

3.选取显著性水平，确定接受域和拒绝域

4.计算检验统计量的值

5.作出统计决策

总体均值的假设检验

大样本的情况下总体均值的假设检验

双侧检验的拒绝域

2005年北京市职工平均工资为32808元，标准差为3820元。现在随机抽取200人进行调查，测定2006年样本平均工资为34400元。按照5%的显著性水平判断该市2006年的职工平均工资与2005有无显著差异？
（在本例题中，我们关心的是前后两年职工的平均工资有没有显著的差异，不涉及差异的方向，因此，本题属于双侧检验。检验过程如下：）
（1）提出假设： H0:m=32808；H1:m≠32808；
（2）总体标准差s已知，大样本抽样，故选用Z统计量；
（3）显著性水平a=0.05，由双侧检验，查表可以得出临界值。
判断规则为：若z>1.96或z<-1.96，则拒绝H0；若-1.96≤z≤1.96，则不能拒绝H0。
（4）计算统计量Z 的值

（5）检验判断：由于 ，落在拒绝域，故拒绝原假设H0。
结论：以5%的显著性水平可以认为该市2006年的职工平均工资比2005年有明显的差异。

单侧检验的拒绝域

已知某电子产品的使用寿命服从正态分布，根据历史数据，其平均使用寿命为8000小时，标准差为370小时。现采用新的机器设备进行生产，随机抽取了100个产品进行检测，得到样本均值为7910小时。试问在5%的显著性水平下，新的机器是否合格？
（这是一个左单侧检验问题。抽样的目的是为了检测新机器生产的产品的使用寿命是否达到标准，我们比较关心的是使用寿命的下限，如果新产品的使用寿命与过去相比没有明显降低，则说明所使用的新机器合格；反之，则说明新机器不合格。检验过程如下：）

某乳制品厂生产的一种盒装鲜奶的标准重量是495克。为了检测产品合格率，随机抽取100盒鲜奶，测得产品的平均重量为494克，标准差为6克，试以5%的显著性水平判断这批产品的质量是否合格。

小样本的情况下总体均值的假设检验

沿用上例，对鲜奶产品进行抽样检查，随机抽取10盒产品，测得每盒重量数据如下（单位：克）：496、499、481、499、489、492、491、495、494、502。试以5%的显著性水平判断这批产品的质量是否合格。

总体比例的假设检验（单一）

主管经理估计25-35岁的会员占总人数的70%，随机抽取40人，调查得知其中25-35岁的会员占74%。试以5%的显著性水平判断主管经理的估计是否准确？

总体方差的假设检验（单一）

某乳制品厂的一种盒装鲜奶产品的标准重量是495克，现改进生产工艺，要求每盒的误差上下不超过3克。从新生产出的产品中随机抽取15盒进行检查，测得产品的重量误差如下（克）。

试以5%的显著性水平判断这批产品的质量是否合格。

两个总体均值差的假设检验

公式汇总