商务与经济统计学习 --总体方差的统计推断

总体方差的统计推断

前面主要介绍了 关于总体均值和总体比比率的统计推断方法 本章讨论关于总体方差的统计推断

一个总体方差的统计推断

样本方差：$s^2 = \frac {\sum(x_i - \bar x)^2}{n-1}$ 是总体方差$\sigma$的点估计 在样本方差作为推断总体方差的基础时 $(n-1)s^2 / \sigma^2$的抽样分布 是对于一个总体方差建立区间估计和进行假设检验的重要方法

$(n-1)s^2/\sigma^2$的抽样分布：
从正态总体中任意抽取一个容量为n的简单随机样本，则$\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$的抽样分布服从自由度为$n-1$的$\chi^2$分布

区间估计–$\chi^2$分布表

一个总体方差的区间估计：$\frac{(n-1)s^2}{\chi_{\alpha/2}^2} \le \sigma^2 \le \frac{(n-1)s^2}{\chi_{(1-\alpha/2)}^2}$
统计检验量$\chi^2$值是基于自由度为$n-1$的$\chi^2$分布，$1-\alpha$为置信系数

假设检验

一个总体方差假设检验的检验统计量：$\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}$

两个总体方差的统计推断 ——$F$分布表

当$\sigma_1^2 = \sigma_2^2$时， $s_1^2/s_2^2$的抽样分布：
当两个方差相等的正态总体中分别抽取容量为$n_1$和$n_2$的两个独立的简单随机样本则：$\frac{s_1^2}{s_2^2}$
的抽样分布服从份子自由度为$n_1-1$和分母自由度$n_2-1$的$F$分布。$s_1^2$为取自总体1的容量为$n_1$的随机样本的样本方差，$s_2^2$为取自总体2的容量为$n_2$的随机样本的样本方差

总体方差$\sigma_1^2 = \sigma_2^2$的假设检验的检验统计量
$F = \frac{s_1^2}{s_2^2}$
将样本方差较大的总体记为总体1，则检验统计量服从份子自由度为$n_1-1$，分母自由度为$n_2-1$的$F$分布