$6 多项式【提纲】

§6 多项式

C1 多项式环

1）单变元多项式：

• 多项式环：含单位元交换环A上定义一个环B：

  • 元素为有限序列 $f = (f_0,f_1,\dots),f_i\in A$
  • 加法：分量相加， $f+g = (f_0+g_0,\dots)$
  • 乘法：分量乘积下标和相同累加， $f\cdot g = (h_0,\dots),h_k = \sum_{i+j=k}f_ig_j$
  • 单位元：即环A的单位元 1

• 易得，环B是一个含单位元交换环。记为A[X]，称A上单变元X的多项式环，元素称为多项式

• 变元(未定元)：序列 $(0,1,0,0,\dots)$，记为 $X$

  • 易得， $X^2 = (0,0,1,0,\dots,0);X^n = (\underbrace{0,0,\dots,0}_n,1,0\dots)$
  • 进一步，多项式可唯一表示为 $f = \sum_{i=0}^nf_iX^i,f_i$称为系数， $f_0$称常数项， $f_n$称首项
  • $f = 0 \iff\forall i,f_i = 0$称零多项式
  • n称次数，记为 $\deg f$，一次多项式又称线性多项式。
    易得， $\deg(f+g)\le \max\{\deg{f},\deg{g}\};\deg(fg)\le \deg{f}+\deg{g}$

• 定理：若A是整环，则A[X]是整环

  小证： $f_n\neq 0,f_{n'}\neq 0\implies f_nf_{n'} = f_{n+n'}\neq 0$

• 定理：若交换环R含有子环A，则 $\forall t \in R,\exist_1 \Pi_t(同态):A[X]\to R,s.t.:\forall a\in A,\Pi_t(a) = a,\Pi_t(X) = t$

  小证：实际上该同态为 $\Pi_t(f) = \sum_{i=0}^nf_it^i$

  • 该同态实际上计算了多项式在X=t上的唯一取值
  • 若存在多项式 $f \in A[X]$在 $t$上的取值为0，则称 $t$为A上的代数元
  • 若 $\Pi_t$是一个单同态( $\ker\Pi_t=\{0\}$,即无非零解)，则称 $t$是一个A上超越元
  • 特别地， $A = \mathbb{Q},R=\mathbb{C}$时，称为代数数和超越数

• 定理：A，R为任意交换环，若存在同态 $\phi:A\to R$是环同态，则可唯一扩充为 $\phi_t:A[X]\to R$，它计算取值

  小证：与前一定理的区别只在于A与R上运算不是相同的而是同态的

2）多变元多项式：

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• 多变元多项式环：记为A[X₁,…,X_n],可由低维环递归定义

  例如，令B = A[X]代替A，类似B的定义去定义一个新环C = B[Y],Y是一个新的变元

• 多变元多项式唯一表示： $f = \sum_{(i)}a_{(i)}X^{(i)},(i)=(i_1,\dots,i_n),a_{(i)} = a_{i_1 i_2 \dots i_n},X^{(i)} = X_1^{i_1}\dots X_n^{i_n}$

• $f = 0 \iff \forall (i): a_{(i) = 0}$

• 次数：

  • $X_k$的最大指数称关于 $X_k$的次数，记为 $\deg_k{f}$
  • 单项式 $X^{(i)}=X_1^{i_1}\dots X_n^{i_n}$的**(全)次数**为 $\sum_{k=1}^n i_k$
  • 若所有单项式的次数相同，称为齐次多项式
  • 单项式次数中最大的称为多项式f的(全)次数，记为 $\deg{f}$。规定 $\deg {0}= -\infin$

• (归纳)定理：若A是整环，则A[X₁,…,X_n]是整环

• (易证)定理：A上任意两个n变元多项式f,g，有 $\deg{fg} = \deg{f}+\deg{g}$

C2 多项式因式分解

1）带余除法：

• 定理：若A为整环，g是A[x]中多项式，首项系数可逆，则 $\forall f \in A[X],\exist_2 q,r\in A[X],s.t. \ f = pq +r,\deg{r}\lt \deg{g}$,且商 $q$和余数 $r$都在环A[X]中
  • 小证：欧几里得算法，归纳除即可
• $r = 0$,称整除
• 注记：首项系数为1的多项式称为首一多项式
• $x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$

2）整除： $\exist c\in R:b=ac$，称a整除b，记为 $a|b$

• 性质：
  • 传递性： $a|b,b|c\implies a|c$
  • 线性： $a|b_i,i=1,2,\dots,m\implies\forall c_1,\dots c_m:a|\sum_{i=1}^m b_ic_i$

3）相伴： $a|b \vee b|a\iff \exist u: b=ua,u|1$(即 $u$可逆)

• 整数环 $\Z$中，可逆元为 $\pm1$
• 多项式整环上可逆元就是整环上可逆元

4）素元(既约元)：不可逆且不能表述为 $p=ab,a\nmid1,b\nmid1$

• 显然，域中非零元都可逆，故没有素元
• 多项式环中的素元称为既约多项式
• 素元的相伴元仍是素元

5）唯一因子分解环：整环R使得：Ⅰ非零元素均可表示为形式： $a = up_1p_2\dots p_r,u|1,p_i$为素数;Ⅱ若有另一分解 $a = vq_1q_2\dots q_s$，则 $r=s$，且适当选取 $q_i$的顺序，能使得所有$q_i $与$p_i$相伴

• 可逆元的素因子分解是平凡的，即自身
• 定理：唯一因子分解换的分解唯一当且仅当 $\forall p,p|ab\to p|a\wedge p|b$成立

6）最大公因数： $g.c.d(a,b)$

• 定义：
  • 因数性： $d|a\vee d|b$
  • 最大化： $\forall c: c|a\vee c|b\to c|d$
• 显然，相伴元也是最大公因数
• 运算性质：
  • $g.c.d.(a,b)=a\iff a|b$
  • $g.c.d.(a,0)=a$
  • $g.c.d.(ta,tb)=t \cdot g.c.d.(a,b)$
  • $g.c.d.(g.c.d.(a,b),c)=g.c.d.(a,g.c.d.(b,c))$

7）最小公倍数： $l.c.m.(a,b)$

• 定义：

  • 因数性： $a|m\vee b|m$
  • 最小化： $\forall c: a|c\vee b|c\to d|c$

• $l.c.m.(a,b)=0\implies a=0\wedge b=0$

• $a,b\neq0,ab=d\cdot l.c.m(a,b)\implies d = g.c.d(a.b)$

8）互素： $g.c.d.(a,b)=1$

9）整除性判别法：设R为唯一因子分解环， $\mathcal{P}$为素元集(使得任意素元相伴其中一个且仅一个元素)，分解a,b为 $a=u\Pi_ip_i^{k_i},b=v\Pi_ip_i^{l_i}$。则 $a|b\iff\forall i,k_i\le l_i$。 $g.c.d.(a,b)=\Pi_ip_i^{\min\{k_i,l_i\}},l.c.m.(a,b)=\Pi_ip_i^{\max\{k_i,l_i\}}$

10）欧几里得环(欧式环)：

• 定义：满足任意非零元素元素都对应于一个非负整数( $\delta:R \setminus \{0\}\to \N$)，且 $\forall a,b\neq0:\delta(ab)\ge\delta(a)$, $\forall a,b\in R,b\neq0,\exist q,r\in R:a=qb+r,\delta(r)\lt\delta(b)\wedge r=0$的整环R
• 特别地，在多项式环中， $\delta$即多项式的次数
• 求最大公因数可用辗转相除法。 $g.c.d.(a,b)=g.c.d.(a\%b,b)R$
• 任意两个元素有最大因和最小公倍。
• $\exist u,b\in R:g.c.d.(a,b) = au+bv$。特别地 $g.c.d.(a,b)=1\iff \exist u,b\in R:g.c.d.(a,b) = 1$
• 推论：
  • $g.c.d.(a,b)=1\vee g.c.d.(a,c)=1\to g.c.d.(a,bc)=1$
  • $a|bc\vee g.c.d.(a,b)=1\to a|c$
  • $b|a\vee c|a\vee g.c.d.(b,c)=1\to bc|a$
• 每一个欧式环都是唯一因子分解环。特别地环 $\Z$和任意域上多项式环 $P[X]$是唯一影子分解环。
• 多元多项式环不是唯一因子分解环，但是也有唯一因子分解性

11）在任意域上P的多项式环 $P[X]$中有无限多个首一既约多项式，存在任意高次既约多项式。

12）容度：多项式系数的最大公因数 $d=d(f)$

• 若容度R上可逆，则称多项式为本原多项式
• 高斯引理：若R是唯一因子分解环， $f,g\in R[X]$，则 $d(fg)\approx d(f)\cdot d(g)$(精确到相伴是相等的)。故本原多项式的乘积依然是本原多项式
• 推论：若 $f$在 $\Z$上既约，则在 $\mathbb{Q}$上既约

13）艾森斯坦既约性判别法：若 $\Z$上首一多项式 $f=X^n+a_1X^{n-1}+\dots+a_n$中 $a_1,\dots,a_n$都能被某个素数 $p$整除，但 $a_n$不能被 $p^2$整除，则 $f$在 $\mathbb{Q}$上既约

注记：若首项不为1但是与 $p$互素时，依然适用

C3 分式域

1）整环分式域：在环 $A$上的元素对集合 $A\times A\setminus\{0\}$上定义等价关系： $(a,b)\sim(c,d):ad=bc$。该等价关系下的商集 $Q(A)$称为环A的分式域

• 加法： $(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)$
• 乘法： $(a,b)(c,d)=(ac,bd)$
• 单位元： $(1,1)$;零元： $(0,1)$
• 记 $Q(A)$中元素(即等价类)为 $[a,b]$，定义相同的运算。
  • 注意到， $Q(A)$上的加法和乘法运算不依赖于等价类中代表元的选取，因为 $(a,b)\sim(a',b')\implies \begin{cases} (a,b)+(c,d) \sim(a',b')+(c,d) \\ (a,b)(c,d)\sim (a',b')(c,d)\end{cases}$
  • 在 $Q(A)$上，加乘运算满足域的定义
• 称为分式域的原因： $\forall [a,b]\in Q(A):[b,1]x=[a,1]$，定义单同态 $f:A\to Q(A):a\mapsto[a,1]$。可知 $x$总是分式 $f(a)/f(b)$，习惯上，将其记为 $\frac{a}{b}$
• 注意到，当 $A$是域时， $A\cong Q(A)$
• 注记：若 $A$是域 $P$的一个子环，且 $P$中元素都可以写成分式形式 $a/b$，则 $P\cong Q(A)$。如KaTeX parse error: Undefined control sequence: \Q at position 1: \̲Q̲(\sqrt{d})=Q(\Z…

2）有理函数域：多项式环 $P[X]$的分式域。其中 $P$是域。记为 $P(X)$

• 注意到， $\mathrm{char}\ P=\mathrm{char}\ P(X)$
• $P(X)$中元素 $\frac{f}{g}$ ， $f$称为分子， $g$称为分母。若分子分母互素，称既约分式
• $\deg \frac{f}{g}=\deg f-\deg g$称为有理函数的次数，不依赖于代表元选择。若次数小于0，称真分式
• 定理：任意有理函数可唯一表示为一个多项式与一个真分式之和。
• 注记：所有真分式的集合 $P_0(X)$连通 $P(X)$上的加法和乘法构成一个没有单位元的环

3）最简分式： $\frac{f}{g}\in P(X)$中 $g=p^n,n\ge1,p\in P[X]$为既约多项式。

• 定理：每个真分式可以唯一表示为最简分式的和

C4 多项式的根

1）根：含单位元交换环 $A$是整环 $R$子环,使得 $f\in A[X],f(c)=0$的 $c\in R$称方程 $f(X)=0$的根

• 贝祖(Bezout)定理： $c\in A,f\in A[X]:f(c)=0\iff(X-c)|f$

• 霍纳除法求 $\frac{f}{X-c}$：

  • 设 $f(X)=a_0X^n+a_1X^{n-1}+\dots+a_n,a_i\in A,q(x)=b_0X^{n-1}+b_1X^{n-2}+\dots+b_{n-1}$

    得 $b_0=a_0,b_k=b_{k-1}c+a_k,f(c)=b_{n-1}c+a_n$

• k重根： $(X-c)^k|f\wedge (X-c)^{k+1}\nmid f\iff f(X)=(X-c)^kg(X),g(c)\neq 0$

• 定理：若 $A$是整环， $f\neq0,f\in A[x]$有根 $c_1,c_2,\dots,c_r$，重数为 $k_1,k_2,\dots,k_r$，则 $f=(X-c_1)^{k_1}(X-c_2)^{k_2}\dots(X-c_r)^{k_r}g(x),g(c_i)\neq 0$。且 $\sum k_i\le \deg f$

• 推论：若 $A$是整环， $f,g\in A[X]$在互异的 $c_1,c_2,\dots c_{n+1}$上取值相同，则 $f=g$

2）多项式函数：每个多项式对应于一个函数 $\tilde{f}:A\to A:a\mapsto f(a)$,这些函数的集合构成一个环 $A_{pol}$。称多项式函数环(或整有理函数环)

• 注记：p元有限域 $\mathbb{F}_p$上多项式的函数等于约化多项式 $\frac{f}{X^p-X}$的函数，因为 $g(X)=(X^p-X)u(X)$始终为0
• $A[X]\to A_{pol}:f\mapsto \tilde{f}$是一个环同构，这表明，给定 $\tilde f$，可以求出原先的 $f$
• 拉格朗日插值公式： $f(c_i)=b_i,c_i\neq c_j,i\neq j$，则 $f(X)=\sum_{i=0}^n b_i \frac{\Pi_{k=0,k\neq i}^n(X-c_k)}{\Pi_{k=0}^n(c_i-c_k)}$
• 牛顿插值公式： $f(X)=u_0+u_1(X-c_0)+\dots+u_n(X-c_0)\dots(X-c_{n-1}),u_n$需要代入各 $c_i$求解

3）导数： $f'(X)=na_0X^{n-1}+(n-1)a_1X^{n-2}+\dots +a_{n-1}$。当 $P=\R$， $f'(X)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\tilde{f}(x+\Delta x)-\tilde{f}(x)}{\Delta x}$

• 导子：环 $R$上满足 $D(u+v)=D(u)+D(v);D(uv)=(Du)v+u(Dv)$的映射 $D:R\to R$
• 莱布尼兹： $D^m(uv)=\sum_{k=0}^mC_m^kD^kuD^{m-k}v$
• 复合求导： $Df(X)=f'(X)DX$。若 $DX=1$则得到一般的微分算子 $D=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}X}$
• 记m重微分： $f^{(m)}$

4）重因式： $\bold{\mathrm{char} P = 0},f\in P[X],f(X)=\lambda p_1(X)^{k_1}\dots p_r(X)^{k_r}$，称首一既约多项式 $p_i(X)$为 $f$的 $k_i$重因式

• $f$有重根 $c\iff f'(c)=f(c)=0$

  推论： $p\nmid n\implies X^n-1$只有单根。因为 $nX^{n-1}$的根不可能是 $X^n-1$的根

• 引理：特征0的域中 $\deg f'=\deg f - 1$，在有限域中不一定成立

• 定理： $p(X)$是 $f\in P[X]$的 $k$重既约因式，则 $p(X)$是 $f'$的 $k-1$重因式，特别地， $k=1$时， $p(X)\nmid f'$

• 推论： $\mathrm{char}P=0$则 $f$在某扩域 $F\supset P$中有 $k$重根 $\iff$ $f^{(j)}(c)=0,0\le j\le k-1,f^{(k)}(c)\neq 0$

• 推论： $f(X)=\lambda p_1(X)^{k_1}\dots p_r(X)^{k_r},\deg f\ge1$，则 $g.c.d.(f,f')=p_1(X)^{k_1-1}\dots p_r(X)^{k_r-1}$

  应用： $g(X)=\frac{f}{g.c.d.(f,f')}=p_1(X)\dots p_r(X)$可以通过欧几里得算法求出全部单因式，而不需要知道实际分解

5）韦达公式：若 $f=X^n+a_1X^{n-1}+\dots+a_n$有根 $c_1,c_2,\dots,c_n$，则 $a_k=(-1)^k\sum\limits_{i_1\lt i_2\lt\dots\lt i_k}c_{i_1}c_{i_2}\dots c_{i_k}$

小证： $f=(X-c_1)(X-c_2)\dots(X-c_n)=X^n+a_1X^{n-1}+\dots+a_n$比较系数

6）对称函数：函数取值与变元次序无关。形式化表述： $\forall \pi\in S_n,\widetilde{\pi\circ f}=\tilde{f}(x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})=\tilde{f}$

• 特别的，称 $s_k(x_1,x_2,\dots,x_n)=\sum\limits_{1\le i_1\lt i_2\lt\dots\lt i_k\le n}x_{i_1}x_{i_2}\dots x_{i_n}$为初等对称函数。韦达公式可改写为 $a_k=(-1)^ks_k(c_1,\dots,c_n)$

• 威尔逊定理： $(p-1)!+1\equiv0(\mod p)\iff p \ is \ prime$

  推导：必要性：有限域 $\mathbb{F}_p$上 $X^p-1=(X-1)\dots(X-(p-1))$。充分性： $p=p_1p_2\implies p_1|(p-1)!$