牛顿判别式的矩阵证明
Dan Kalman 1999.08.16
牛顿判别式联系一个多项式系数与多项式的根的幂的和。他们通常在对称函数的讨论中被遇到(看[ 4 , 9 ])：一个多项式的系数是根的对称函数, 它是那些根的k次幂的和。
牛顿判别式也在矩阵代数学的上下文有很自然的表述, 一个矩阵的k次幂的迹在此是特征值的k次幂的和。在这个情况下，牛顿判别式能作为 Cayley-Hamilton 定理的简单的后果被导出。给出那推导是这篇文章的目的。
对于牛顿判别式有许多的推测在以前的文章中。Berlekamp 的推导[2]使用构造函数的方法是简短并且漂亮的，并且给出一个很有趣的参数[7]使用一个新奇的标志。在另一条途径[1],Baker 使用差分获得不错的递归。Eidswick 的推导([3]) 使用相关的对数的差分的应用。所有的这些证明是基本的并且可理解的，但是他们包含的操作或概念可能使他们有一点难于理解对学生。相反的是, 这里的证明方法将对大部分学习线性代数的学生乐意接受的。
有趣地, 牛顿判别式的矩阵解释在线性的代数学文献中是常见的, 即提供一计算一个矩阵的特征多项式以矩阵([1,8])的幂的迹。然而, 使用矩阵导出牛顿判别式似乎不是众所周知的。
令有根。定义
牛顿判别式为
现在令C是一个的特征多项式为p的矩阵。例如，C可以为
p ([6])的伴随矩阵。那么p的根就是C的特征值，并且更通常的有，p的根的k次幂是的特征值。因此, 我们观察到是的迹, 记为tr()。一个矩阵的迹是斜对角线的和和特征值的和。
现在，牛顿判别式变成了
既然迹的函数是线性的，我们可以重新记为
或者
这样,k > n的情况很快地从 Cayley-Hamilton 定理继承过来, 也就是说p(C) = 0。
对于 , 牛顿判别式的迹就是
也可记为
为了以后将是清楚的一些原因, 我们进行稍微修改，便成了
他的判别式也可以由 Cayley-Hamilton 定理导出。为了简化标记，定义一个多项式的顺序
所以判别式变为
记满足递归
同样记（C）= q ( C ) = 0，所以最后的递归就是
现在应该对那些施行了假想的合成的都熟悉;他们确实是系数当出现p (x)被x - C([5])划分时，。并且因为p(C) = 0 , 这导致因式分解对于矩阵是有效的：
这里的代数正是与合成的除法中出现的一样，并且因式分解容易对q使用递归关系被验证。
在一些地方我们将要把迹引入这个方程。不幸的是, 迹没有很好的联系到矩阵乘积, 因此消除前面的方程的左边( xI - C)因子是必要的。幸好, 只要 x 不是C的一个特征值, 我们知道( xI - C )是非奇异的, 于是我们有
两边求迹有
为了完成证明，我们接着将说明等式的右边不是别的，就是，那么就有
就是我们想要的。
所以，考虑。注意到，我们可以等价的写为。即有
任何矩阵的迹都是它的特征值的和（其重数与特征多项式中一样），并且的特征值简单的就是这些分式，有
很明显的可以看出这就是导数（利用），证毕。
参考书目：
[1] George A. Baker, Jr. A New Derivation of Newton's Identities and Their Application to
the Calculation of the Eigenvalues of a Matrix. Journal of the Society for Industrial and
Applied Mathematics, 7(2):143 { 148, June 1959.
[2] Elwyn R. Berlekamp. Algebraic Coding Theory Revised 1984 Edition, page 212. Aegean
Park Press, Laguna Hills, CA, 1984.
[3] J. A. Eidswick. A Proof of Newton's Power Sum Formulas. American Mathematical Monthly,
75(4):396 { 397, April 1968.
[4] I. N. Herstein. Topics in Algebra, page 208. Ginn, Waltham, MA, 1964.
[5] Dan Kalman. An extension of the Remainder Theorem. Delta. 8(1):77 { 80, 1978
[6] David C. Lay. Linear Algebra and Its Applications, 2nd ed., page 365. Addison-Wesley,
Reading, MA, 1997.
[7] D. G. Mead. Newton's Identities. American Mathematical Monthly, 99(8):749 { 751, October
1992.
[8] D. W. Robinson. A Matrix Application of Newton's Identities. American Mathematical
Monthly, 68(4):367 { 369, April 1961.
[9] B. L. van der Waerden. Algebra, volume 1, page 101. Frederick Ungar, New York, 1970.
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