二项分布 (Binomial Distribution)

假设一个随机变量 $X$服从参数为 $n\in\mathbb{N}$和 $p\in [0,1]$的二项分布, 即 $X\sim B(N, p)$, 则 $X$的取值为 $k$的概率为:
$\Pr(X=k)=C_n^k(1-p)^{n-k}p^k$
其中 $k=0, \cdots, n$

$\Pr(X=k)$的含义为, 我们掷一枚硬币, 每次正面朝上的概率为 $p$; 我们掷这枚硬币的 $n$次中, 正面朝上的次数为 $k$次的概率.

$\mu = E(X) = \sum_{k = 0}^nk\cdot\Pr(X=k)$
$= \sum_{k = 0}^nk\cdot\frac{n!}{(n-k)!k!}\cdot(1-p)^{n-k}p^k$
$= n\sum_{k=1}^n\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}\cdot(1-p)^{n - k}p^k$
$= n\sum_{k = 0}^{n-1}\frac{(n-1)!}{(n-k-1)!k!}\cdot(1-p)^{n-k-1}p^{k + 1}$
$= np\sum_{k = 0}^{n-1}\frac{(n-1)!}{((n-1)-k)!k!}\cdot(1-p)^{(n-1)-k}p^k$
$= np\sum_{k=0}^{n-1}C_{k}^{n-1}(1-p)^{(n-1)-k}p^k$
$= np$

$E(X^2) = \sum_{k= 0}^nk^2\cdot\Pr(X=k)$
$= \sum_{k = 0}^nk^2\cdot\frac{n!}{(n-k)!k!}\cdot(1-p)^{n-k}p^k$
$= \sum_{k=0}^nk(k-1)\frac{n!}{(n-k)!k!}(1-p)^{n-k}p^k + \sum_{k=0}^nk\frac{n!}{(n-k)!k!}(1-p)^{n-k}p^k$
$= \sum_{k=0}^nk(k-1)\frac{n!}{(n-k)!k!}(1-p)^{n-k}p^k + E(X)$
$= \sum_{k=2}^n\frac{n!}{(n-k)!(k-2)}(1-p)^{n-k}p^k + E(X)$
$= n(n-1)\sum_{k=0}^{n-2}\frac{n-2}{(n-k-2)!k!}(1-p)^{n-k-2}p^{k+2} + E(X)$
$= n(n-1)p^2\sum_{k=0}^nC_{k}^{n-2}(1-p)^{(n-2)-k}p^k + E(X)$
$= n(n-1)p^2 + np$

$\sigma^2=Var(X)$
$= E((X-\mu)^2)$
$= E(X^2 - 2\mu X + \mu^2)$
$= E(X^2) - \mu^2$
$= n(n-1)p^2 + np -(np)^2$
$= np(1-p)$