七、向量的外积以及内外积的几何解释

1. 点积与外积的区别

向量的乘法有两种，一种是点积--dot product，一种是外积--cross product

点积和外积的区别：

点积可以在任何维数的空间中定义，外积只能在三维空间中定义

点积的结果是一个标量，外积的结果是一个向量

2. 外积的定义

在R3中，假设有两个向量：

$\vec{a} = \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix} \; \vec{b} = \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{bmatrix}$

那么， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的外积是：

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{bmatrix} a_2b_3 - a_3b_2\\ a_3b_1 - a_1b_3\\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{bmatrix}$

外积就是两个向量组成的3x2矩阵的代数余子式

由外积的定义可以看出，外积只能在三维空间中定义，且结果为一个向量。

3. 外积的属性

外积与生成外积的两个向量正交，证明如下：

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = \begin{bmatrix} a_2b_3 - a_3b_2\\ a_3b_1 - a_1b_3\\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix}$

$= a_1a_2b_3 - a_1a_3b_2 + a_2a_3b_1 - a_2a_1b_3 + a_3a_1b_2 - a_3a_2b_1$

$= 0$

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ 的证明过程类似

外积向量的方向可以由右手法则来确定：大拇指指向 $\vec{a}$ ，四指指向 $\vec{b}$ ，掌心的方向即为外积向量的方向

4. 外积的用处

因为外积与生成外积的两个向量(不为0向量)正交，所以外积是两个原始向量展开生成的平面的法向量。在上一篇文章中介绍，由法向量和平面上的一个点，可以定义一个平面，但是多数情况下，并不知道平面的法向量，此时，如果知道平面上的三个点，由这三个点可以确定平面上的两个向量，再由两个向量计算出法向量，最终通过法向量和任意一个点，确定平面方程。

5. 外积与夹角正余弦的关系

点积与外积类似于硬币的两面，它们与夹角的关系为：

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left \| \vec{a} \right \| \left \| \vec{b} \right \| \cos\Theta$

$\left \| \vec{a} \times \vec{b} \right \| = \left \| \vec{a} \right \| \left \| \vec{b} \right \| \sin\Theta$

点积与夹角余弦的关系在上一篇文章中已证明，下面证明外积与夹角正弦的关系：

点积的平方：

$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = \left \| \vec{a} \right \|^2 \left \| \vec{b} \right \|^2 \cos^2 \Theta$

$= (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2$

= $(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)$

$= a_1^2b_1^2 + a_1a_2b_1b_2 + a_1a_3b_1b_3$

$.\; \; \; \; + a_1a_2b_1b_2 + a_2^2b_2^2 + a_2a_3b_2b_3$

$.\; \; \; \; + a_1a_3b_1b_3 + a_2a_3b_2b_3 + a_3^2b_3^2$

$= a_1^2b_1^2 + a_2^2b_2^2 + a_3^2b_3^2 + 2(a_1a_2b_1b_2 + a_1a_3b_1b_3 + a_2a_3b_2b_3)$

外积长度的平方：

$\left \| \vec{a} \times \vec{b} \right \|^2 = (a_2b_3 - a_3b_2)^2 + (a_3b_1 - a_1b_3)^2 + (a_1b_2 - a_2b_1)^2$

$=a_2^2b_3^2 - 2a_2a_3b_2b_3 + a_3^2b_2^2$

$.\; \; \; \; + a_3^2b_1^2 - 2a_1a_3b_1b_3 + a_1^2b_3^2$

$.\; \; \; \; + a_1^2b_2^2 - 2a_1a_2b_1b_2 + a_2^2b_1^2$

$=a_1^2(b_2^2+b_3^2) + a_2^2(b_1^2 + b_3^2) + a_3^2(b_1^2 + b_2^2)$

$.\; \; \; - 2(a_1a_2b_1b_2 + a_1a_3b_1b_3 + a_2a_3b_2b_3)$

点积的平方加上外积长度的平方：

$\left \| \vec{a} \times \vec{b} \right \| ^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2)$

$\left \| \vec{a} \times \vec{b} \right \| ^2 + \left \| \vec{a} \right \| ^2 \left \| \vec{b} \right \| ^2 \cos^2\Theta = \left \| \vec{a} \right \| ^2 \left \| \vec{b} \right \| ^2$

$\left \| \vec{a} \times \vec{b} \right \| ^2 = \left \| \vec{a} \right \| ^2 \left \| \vec{b} \right \| ^2 (1 - \cos^2\Theta)$

$\left \| \vec{a} \times \vec{b} \right \| ^2 = \left \| \vec{a} \right \| ^2 \left \| \vec{b} \right \| ^2 \sin^2\Theta$

两边同时开平方：

$\left \| \vec{a} \times \vec{b} \right \| = \left \| \vec{a} \right \| \left \| \vec{b} \right \| \sin\Theta$

证明完毕。

6. 点积与外积长度的几何解释

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left \| \vec{a} \right \| \left \| \vec{b} \right \| \cos \Theta = \left \| \vec{b} \right \| \left \| \vec{a} \right \| \cos \Theta = \left \| \vec{b} \right \| a_0$

$\left \| \vec{a} \times \vec{b} \right \| = \left \| \vec{a} \right \| \left \| \vec{b} \right \| \sin \Theta = \left \| \vec{b} \right \| \left \| \vec{a} \right \| \sin \Theta = \left \| \vec{b} \right \| a_1$

从上图可知，点积为两向量同方向的积，外积长度为两向量垂直方向的积