一文读懂向量内外积

內积（点积） Dot Product; Scalar Product;inner Product

前言

有三维向量 $\large \boldsymbol{a}=(a_1,a_2,a_3)$ $\large \boldsymbol{b}=(b_1,b_2,b_3)$

tips：根据输入输出的情况可以分辨三种积。

內积（点积） Dot Product; Scalar Product;inner Product

$\large \boldsymbol{a\cdot b}=\boldsymbol{a^T b}=\begin{bmatrix} a_1&a_2&a_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}=\sum_{i=1}^{3}{a_ib_i}=\left | \boldsymbol{a} \right | \left | \boldsymbol{b}\right | cos \left \langle \boldsymbol{a,b} \right \rangle$

where， $\large \left | \boldsymbol{a} \right |$ 表示vector的二范数（长度）， $\large cos \left \langle \boldsymbol{a,b} \right \rangle$ 表示夹角。

表示vector 之间的投影关系。

注意：inner Product 输入两个向量，输出标量

外积（叉积） Exterior Product

解析几何 Analytic Geometry 中的概念

$\large \boldsymbol{a\times b}=\begin{Vmatrix} i & j& k\\ a_1&a_2 & a_3\\ b_1& b_2 & b_3 \end{Vmatrix}=\begin{bmatrix} a_2b_3-a_3b_2\\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{bmatrix}$

其中， $\large i=(1{,0,0})$ $\large j=(0{,1,0})$ $\large k=(0{,0,1})$

即 $\large \boldsymbol{a\times b}=(a_2b_3-a_3b_2 )i-(a_3b_1-a_1b_3 )j+(a_1b_2-a_2b_1) k$

注意：叉积输入两个向量，输出一个向量（而不是一个标量），且和 $\large \boldsymbol{a b}$ 形成的平面垂直。

张量积 Outer Product

现代 linear algebra 中的概念，

$\large \boldsymbol{a\cdot b}=\boldsymbol{a b^T}=\begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_1&b_2&b_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_1b_1 &a_1b_2 &a_1b_3 \\ a_2b_1 &a_2b_2 &a_2b_3 \\ a_3b_1 &a_3b_2 &a_3b_3 \end{bmatrix}$

注意：Outer Product 输入两个向量，输出一个矩阵

Bluenapa

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