struct Vector {int x, y;}; // 二维向量的资料结构 // 内积运算 int dot(Vector& v1, Vector& v2) { return v1.x * v2.x + v1.y * v2.y; // 没有除法,尽量避免误差。 } // 外积运算,回传纯量(除去方向) int cross(Vector& v1, Vector& v2) { return v1.x * v2.y - v1.y * v2.x; // 没有除法,尽量避免误差。 }
内积、外积跟长度的关系
内积后取绝对值,求得的是投影量,再除以投影标的的单位向量,则得到投影长度。
外积后取绝对值,求得的是平行四边形的面积量,再除以底的单位向量,则得到高。
struct Point {double x, y;}; // 点的资料结构 typedef Point Vector; // 向量的资料结构,和点一样 // 内积运算 double dot(Vector& v1, Vector& v2) { return v1.x * v2.x + v1.y * v2.y; } // 外积运算,回传纯量(去除方向) double cross(Vector& v1, Vector& v2) { return v1.x * v2.y - v1.y * v2.x; } // 向量的长度 double length(Vector& v) { return sqrt(v1.x * v1.x + v2.y * v2.y); // return sqrt(dot(v, v)); } void print_d1_and_d2() { Point p, p1, p2; Vector v1 = p1 - p, v2 = p2 - p; cout << "d1:" << fabs(dot(v1, v2)) / length(v1); cout << "d2:" << fabs(cross(v1, v2)) / length(v1); }
void print_θ() { Point p, p1, p2; Vector v1 = p1 - p, v2 = p2 - p; double l1 = length(v1), l2 = length(v2); cout << "cos(θ):" << dot(v1, v2) / l1 / l2; cout << "sin(θ):" << cross(v1, v2) / l1 / l2; cout << "θ:" << acos(dot(v1, v2) / l1 / l2); // [0, π] cout << "θ:" << asin(cross(v1, v2) / l1 / l2); // [-π/2, π/2] }
注意到acos与asin的回传值,回传的结果是弪度量(radian)而非度度量(grade),而且回传值的范围也不同。一般都以内积与acos求得介于0˚到180˚之间的夹角大小。
内积与向量夹角
利用内积的性质,可以粗略判断夹角大小:内积大于0时,两向量夹角小于90˚;等于0时,夹角等于90˚;小于零时,夹角大于90˚且小于180˚。
外积与向量旋转
外积大于0时,两向量前后顺序为逆时针顺序(在180˚之内);等于0时,两向量平行,也就是指夹角等于0˚或180˚;小于0时,两向量前后顺序为顺时针顺序(在180˚之内)。
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