【计算机图形学】壹 · 光栅图形学之直线段的扫描转换算法

有两点 $P_{0}(x_{0},~y_{0}),~P_{1}(x_{1},~y_{1})$确定一条线段 $L(P_0,~P_1)$，设线段所在直线方程为 $y=kx+b$其中斜率 $k=(y_1-y_0)/(x_1-x_0)$，截距 $b=y_0-kx_0$。

注：以下算法中 $|k| \leq 1$，对于 $|k| > 1$的情况可同理推导得出。

1 直线方程法

1.1 基本思想：

根据直线的表达式确定线段路径上点的像素位置。

1.2 算法描述

1. 取 $x$坐标：将区间 $[x_0,~x_1]$均分，每段长 $d$，假设端点为 $t_i=x_0+i*d$， $t_0=x_0, t_n=x_1$.（注： $t_i$要为整数）
2. 计算 $y$坐标： $y_i=kt_i+b$
3. 取整：因为像素坐标都是整数，所以取整： $y_{i}^{'}=(int)(y_i+0.5)$

1.3 算法评价

• 主要运算：乘法+加法+浮点数运算（取整）
• 计算量大，这种方法一般不使用。

2 数值微分法（DDA算法）

2.1 基本思想

从 $x$的左端点 $x_0$开始，向x右端点步进，步长为1（像素），按 $y=kx+b$计算相应的 $y$坐标，并取像素点 $(x,~round(y))$作为当前点的坐标。

2.2 算法描述

设 $x$步长为 $\Delta x$，则 $x_{i+1}=x_i+\Delta x$，于是： $y_{i+1}=kx_{i+1}+b\\~~~~~~~~~~~~~~~~~=kx_{i}+k\Delta x+b\\~~~~~~~=y_i+k\Delta x$
$\Delta x=1$时， $y_{i+1}=y_i+k$.

1. 起始点 $(x_0,~y_0)$；
2. 计算下一个点 $(x_{i+1},~y_{i+1})=(x_i+1,~round(y_i+k))$
3. 循环执行步骤2，直至 $x_i=x_1$，结束。
   

其中， $round(y_i+k)=(int)(y_i+k+0.5)$.

2.3 算法评价

• 如博文开篇所述，上述算法仅仅适用于 $|k| \leq 1$的情况，在这种情况下， $x$每增加1， $y$最多增加1。对于 $|k|>1$的情况，必须把 $x$和 $y$的地位互换， $x$随着 $y$的变化而变化， $y$每增加1， $x$相应增加 $1/k$。

• 主要运算：加法+浮点数运算（取整），仍有浮点数运算，不利于硬件实现。

3 中点画线法

依旧分析 $|k| \leq 1$的情况。

3.1 基本思想

根据上文，我们可以知道，当 $x_{i+1}=x_i+1$， $y_{i+1}$经过四舍五入之后只有两种情况：

1. $y_{p+1}=round(y_{i+1})<y_{p}+0.5~~\Rightarrow ~~y_{p+1}=y_{p}$
2. $y_{p+1}=round(y_{i+1})\geq y_{p}+0.5~~\Rightarrow ~~y_{p+1}=y_{p}+1$

（假设第 $i$个像素点为 $(x_p,~y_p)$，则它的下一个像素点为 $(x_{p+1},~y_{p+1})$，注意区分 $y_i$和 $y_p$）
可以发现，下一个像素点 $y_{p+1}$的取值，与 $y_{p}$和 $y_{p}+1$的中点（ $y_p+0.5$）有很大的关系，所以我们可以直接用这个中点去判断 $y_{p+1}$的取值。

如图所示，假设 $A$点为当前像素点，而且已确定，接下来的像素点确定如下：

• 下一个像素点 $B$，在 $B_1$和 $B_2$之间选择，由于 $B_中$在直线下方，所以直线更靠近 $B_2$点，则下一个像素点 $(x_{p+1},~y_{p+1})$选择 $B_2$。
• 下一个像素点 $C$，在 $C_1$和 $C_2$之间选择，由于 $C_中$在直线上方，所以直线更靠近 $C_1$点，则下一个像素点 $(x_{p+2},~y_{p+2})$选择 $C_1$。
• 下一个像素点 $D$，在 $D_1$和 $D_2$之间选择，由于 $D_中$刚好在直线上，所以直线距离 $D_1$和 $D_2$同样远，则下一个像素点 $(x_{p+3},~y_{p+3})$可以选择任一点。（一般提前统一好，选择任一点都可以）

3.2 算法描述

设函数 $F(x,y)=y-kx-b$，则： $d=F(x_M,y_M)=F(x_p+1,y_p+0.5)=y_p+0.5-k(x_p+1)-b$
根据下述方法更新下一个像素点的相关值：

• $d_p<0\Rightarrow 中点在直线下方\Rightarrow x_{p+1}=x_p+1,~y_{p+1}=y_{p}+1$，知道下一个像素点之后，可求 $d_{p+1}=F(x_p+2,y_p+1.5)\\~~~~~~~~~~~~~~~~~=y_p+1.5-k(x_p+2)-b\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=[y_p+0.5-k(x_p+1)-b]+1-k\\=d_p+1-k~~~~~~~~$
• $d > 0\Rightarrow 中点在直线上方\Rightarrow x_{p+1}=x_p+1,~y_{p+1}=y_{p}$，同理可推：
  $d_{p+1}=d_p-k$
• $d = 0$同 $d > 0$

1. 初始点 $P_0(x_0,y_0)，$计算 $d_0=F(x_0+1,y_0+0.5)=y_0+0.5-k(x_0+1)-b=0.5-k$
2. 根据 $\left\{\begin{matrix} d_p<0 \Rightarrow x_{p+1}=x_p+1,~y_{p+1}=y_{p}+1,d_{p+1}=d+1-k\\d_i \geq 0\Rightarrow x_{p+1}=x_p+1,~y_{p+1}=y_{p},~~~~~~d_{p+1}=d-k~~~~~~~ \end{matrix}\right.$
   更新。
3. 循环步骤2，直至 $x_p=x_1$，结束。

3.3 算法评价

• 该算法只涉及加法。但在计算 $d_0$时，涉及到( $0.5$)浮点数计算，可以将 $2d$代替 $d$以消除浮点数计算。

3.4 算法实现

C++实现代码（任意k值）

4 Bresenham算法

4.1 基本思想

如上图所示， $x_{i+1}=x_i+1$， $y_{i+1}=y_i+k$，现在设一个误差项 $d$：

• $d_0=0$
• 如果只在 $x$方向上走一步： $d_{i+1}=d_i+k$
• 一旦 $y$方向上走了一步， $d_{i+1}=d_{i}+k-1$

那么我们就可以比较 $d$和 $0.5$，来确定下一个像素点的坐标。

• $d_{p}<0.5：$直线更接近下面的点，所以下一个像素点： $x_{p+1}=x_p+1,~y_{p+1}=y_p$。同时更新 $d_{p+1}=d_{p}+k$。
• $d_{p}\geq0.5：$直线更接近上面的点，所以更新 $x_{p+1}=x_p+1,~y_{p+1}=y_p+1$。同时更新 $d_{p+1}=d_{p}+k-1$。

4.2 算法描述

1. $d_0=0$
2. $d_{p+1}=d_{p}+k$，判断 $d_i$：
   • 若 $d_p<0.5$， $x_{p+1}=x_p+1,~y_{p+1}=y_p$；
   • 若 $d_p \geq 0.5$， $x_{p+1}=x_p+1,~y_{p+1}=y_p+1$， $d_{p}=d_{p}-1$；
3. 重复步骤2，直到画到 $P_1$，结束。

4.3 算法评价

• 改进一：用 $e=d-0.5$代替 $d$， $e_0=-0.5$，这样可以减少一点运算量。
• 改进二：同中点画线算法，用 $2e\Delta x$代替 $e$。
• 该算法与中点画线法差不多，个人认为只是计算 $d$的顺序不同：中点画线法是确定像素点之后更新 $d$，而Bresenham算法是先计算 $d$，再去确定像素点。两者大同小异。