扩展欧几里得详解

扩展欧几里得

• 裴蜀定理

方程ax + by = c有解的充要条件是(a, b) 是 c 的因数，换种说法，即c为gcd(a, b)(a,b的最大公约数)的倍数

引入gcd(a, b)

int gcd (int a, int b) {
    if (b == 0) 
        return a;
    else
        return gcd(b, a % b);
}

• 丢番图方程

不定方程(丢番图方程)是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制(即要求有理数、整数或正整数等)的方程式或方程组

• 逆元

引入求余概念

(a + b) % p = (a%p + b%p) % p (Y)

(a - b) % p = (a%p - b%p) % p (Y)

(a * b) % p = (a%p * b%p) % p (Y)

(a / b) % p = (a%p / b%p) % p (N)

除法是不成立的

a * x = 1

那么x是a的倒数，x = 1/a

如果a不是1，那x就是小数

在数论中， 很多时候都需要求余，所以问题变成

a * x = 1 (mod p)  此时x一定等于1/a吗，显然不是

此时，我们就把x看成a的倒数，但是加了一个求余条件，所以x叫做 a关于p的逆元

例如 2 * 3 % 5 = 1，那么3就是2关于5的逆元，也可以说2和3关于5互为逆元

（注意，只有a和p互质，a才有关于p的逆元）

来到我们的重头戏扩展欧几里得了

a * x + b * y = 1, 如果a和b互质，有解

这个解的x就是a关于b的逆元， y就是b关于a的逆元

为什么呢？

对公式两边同时求余b

a * x % b  + b * y  %  b = 1 % b

a * x % b = 1 % b   => a * x = 1 (mod b)

同理 同时求余a

b * y % a = 1 % a    => b * y = 1 (mod a)

我们假设 a  > b

1、当 b = 0 时，gcd(a, b) = a, 此时 x = 1, y = 0

2、当 a * b != 0 时

a  * x1  + b * y1 = gcd(a, b)

让 a = b

有 b * x2 + (a mod b) y2 = gcd (b, a mod b)

我们由朴素欧几里得得出 gcd (a, b) = gcd (b, a mod b);

根据恒等

a * x1 + b * y1 = b * x2 + (a mod b) * y2 

a mod b = a - (a/b)*b

代入上式得

a * x1 + b * y1 = b * x2 + a*y2 - (a/b)*b*y2

有 x1 = y2,     y1 = x2 - (a/b)*y2

int ex_gcd (int a, int b, int &x, int &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int res = ex_gcd(b, a % b, x, y);
    int t = x;
    x = y;
    y = t - (a/b)*y;
    return res;
}