学习笔记--扩展欧几里得

前言

在noip前就对此算法进行过一些了解，然而noipD1T1压根没想到扩欧，说明我之前学的东西根本不扎实，于是现在跑来补坑

更项减损法&欧几里得算法

先来介绍一个在《九章算术》中出现的更相减损法：

对于任意正整数$a>=b$,都有$gcd(a,b)=gcd(b,a-b)=gcd(a,a-b)$
证明：

对于a,b任意公约数d,因为$d\mid b,d|a$,所以$d\mid (a-b)$,所以a,b的公约数集合与$b,a-b$的公约数集合相同，对于$a,a-b$也同理。

然后就是大名鼎鼎的欧几里得算法：

对于任意正整数$a,b(b \ne 0) $有,$gcd(a,b)=gcd(b,a\mod b)$

进行高精度运算时，可考虑更项减损法代替。

裴蜀定理($Bézout's$ $lemma$)

对于任意整数$a,b$,存在一对整数，满足$ax+by=gcd(a,b)$

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证明：

我觉的还是《算法竞赛进阶指南》中给出证明更有帮助：

在欧几里得算法最后一步,即$b=0$时，显然有一对整数$x=1,y=0$,满足$a*1+b*0=gcd(a,0)$

若$b > 0$，则$gcd(a,b)=gcd(b,a \mod b)$。假

设存在一对整数$x,y$,满足$b*x+(a \mod b)*y=gcd(b,a \mod b)$，

因为$bx+(a \mod b)y$

$=bx+(a-b\lfloor a/b \rfloor)y$

$=ay-b(x-\lfloor a/b \rfloor y)$，

所以令$x'=x,y'=x-\lfloor a/b \rfloor y$就能得到$ax'+by'=gcd(a,b)$

应用数学归纳法（如果您不知道这是什么，您可以把它想象成一个递推或递归过程），可知此定理成立。

上述证明过程还给出了$x,y$的计算过程，用代码写就是

ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    } 
    ll d=ex_gcd(b,a%b,x,y);
    ll z=x;x=y,y=z-(a/b)*y;
    return d;
}

ex_gcd返回$gcd(a,b)$，同时求出一组解$x,y$

对于$ax+by=c$,它有解当且仅当$gcd(a,b)\mid c$

然后，此方程的通解可表示为：

$x=(c/d)*x0+k*(b/d)$ ，$y=(c/d)*y0-k*(a/d)$

其中$k$取任意整数，$d$为$gcd(a,b)$.

这是为什么呢？我辗转于各大博客都无清楚的解释，在我坚韧不拔意志的驱使下，终于在洛谷网课上找到了一个简洁易懂的证明:

证明：

我们先考虑：$ax+by=gcd(a,b)$的情况,

显然$a*b+b*(-a)=0$ 同时除以$gcd(a,b)$,易知这是可行的

所以$a*(b/gcd(a,b))+b*(-a/gcd(a,b))=0$

所以若已知$x0,y0$为一组特解即$a*x0+b*y0=gcd(a,b)$，不妨令$x=x0+k*b/gcd(a,b)$ ,$y=y0-k*(a/gcd(a,b))$,

带入$ax+by$得$a(x0+k*b/gcd(a,b))+b*(y0-k*(a/gcd(a,b)))$

$=ax0+by0+k*(a*b/gcd(a,b)-b*a/gcd(a,b))$

$=ax0+by0=gcd(a,b)$

然后$ax+by=c$的也很好解决掉了，这里不赘述

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前言

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裴蜀定理(\(Bézout's\) \(lemma\))

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