A Simple Chess

一、题目

点此看题

马走日，问禁止一些点的情况下起点到终点的方案数，模 $110119$

二、解法

先考虑没有限制两个点的情况，设 $x$方向需要移动 $a$， $y$方向需要移动 $b$，设 $p=(a+b)/3$，所以方案数是 $C(p,a-p)$，就是说每一步 $x,y$都会至少靠近 $1$，而 $x$还需要走额外 $a-p$步，就从 $p$步中选。

然后我们先把给出的禁止点排序，按照 $x+y$的和从大到小，因为它们一定满足一个拓扑序，然后还要考虑去重，设 $dp[i]$为到第 $i$个禁止点未经过任何前面的禁止点的方案数（所以我们需要把 $(n,m)$插入进去，方便统计答案），转移如下：
$dp[i]=way((1,1),i)-\sum_{j=1}^{i-1} dp[j]\times way(j,i)$其中 $way$的方法上面已经讲过了，用 $lucas$算一算就行。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define int long long
const int M = 105;
const int MOD = 110119;
int read()
{
    int x=0,flag=1;char c;
    while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;
    while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return x*flag;
}
int n,m,k,dp[M],fac[MOD+5],inv[MOD+5];
void init(int n)
{
	fac[0]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<n;i++) inv[i]=inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	for(int i=2;i<n;i++) inv[i]=inv[i]*inv[i-1]%MOD;
	for(int i=1;i<n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
}
int C(int n,int m)
{
	if(m>n) return 0;
	return fac[n]*inv[m]%MOD*inv[n-m]%MOD;
}
int lucas(int n,int m)
{
	if(m==0) return 1;
	return lucas(n/MOD,m/MOD)*C(n%MOD,m%MOD)%MOD;
}
struct node
{
	int x,y;
	node(int X=0,int Y=0) : x(X) , y(Y) {}
	bool operator < (const node &b) const
	{
		return x+y<b.x+b.y;
	}
	int check(const node &t) const
	{
		if(x<=t.x || y<=t.y) return 0;
		int a=x-t.x,b=y-t.y;
		if((a+b)%3!=0 || a>2*b || b>2*a) return 0;
		return 1;
	}
	int cnt(const node &t) const
	{
		int a=x-t.x,b=y-t.y;
		int p=(a+b)/3;
		return lucas(p,a-p);
	}
}a[M];
signed main()
{
	init(MOD);
	int Case=0;
	while(~scanf("%lld %lld %lld",&n,&m,&k))
	{
		memset(dp,0,sizeof dp);
		int f=0;
		for(int i=1;i<=k;i++)
		{
			a[i].x=read();
			a[i].y=read();
			if(a[i].x==n && a[i].y==m) f=1;
		}
		printf("Case #%d: ",++Case);
		if(n==1 && m==1)
		{
			puts("1");
			continue; 
		}
		if(f==1)
		{
			puts("0");
			continue;
		}
		sort(a+1,a+1+k);
		a[++k].x=n;a[k].y=m;
		for(int i=1;i<=k;i++)
		{
			if(!a[i].check(node(1,1))) continue;
			dp[i]=a[i].cnt(node(1,1));
			for(int j=1;j<k;j++)
			{
				if(!a[i].check(a[j])) continue;
				dp[i]=(dp[i]-dp[j]*a[i].cnt(a[j]))%MOD;
			}
		}
		printf("%d\n",(dp[k]+MOD)%MOD);
	}
}