【Mark】概率论与数理统计

概率论的基本概念

20.2.17

• 什么是概率统计？
  必然现象的确定性规律；
  随机现象虽然存在不确定性，但还是存在一定规律的；
• 怎样学？
  学思想；学方法；学应用；学软件；
• 自测标准：
  是否对 随机 有足够认识；
  是否对 数据 有兴趣、有感觉；
• 自然界现象：确定现象，随机现象；
• 试验，不同于实验；
  随机试验，性质：可重复，可观察 (结果不止一个，且知道S)，不确定；用 E 表示；
• 样本空间，E 的所有可能结果组成的集合；用 S 表示；
  其中元素是样本点；
• 随机事件，S 的子集，简称事件；通常用 A、B、C 表示；
  事件发生，A 中的一个样本点出现，事件 A 发生；
  必然事件，就是 S ；
  不可能事件，就是空集；
  基本事件，其集合中只包含了一个样本点；
• 事件的运算及关系，（包含、相等、互斥 (不相容)、逆、差）；
  和事件，A并B，至少有一发生；（或）并集；
  积事件，A交B，同时发生；（且）交集；若AB相互独立，P(AB) = P(A) × P(B)；
  只要是不发生，就减它；
  A - B = (A + B) - B = A - AB；
  因为事件本身就是一个集合，所以满足集合的所有运算定律；
  德摩根律很常用；
  对于不相容的事件，和事件的概率 = 事件概率的和；
• 频率，通过实验结果来说明事件发生的频繁程度，0 <= f_n( A ) <= 1；等于发生次数 / 总次数；
  频率特征，随着实验次数n增加，频率会具有稳定性；f_n( A )趋于一个值 p；
• 概率，刻画随机事件在一次试验中发生可能性大小的数，频率在大量试验中趋于稳定的值，P( A )；
  公理化定义：非负性，规范性，可列可加性；
• 加法公式：奇数的求和，偶数的求差；推广；
  P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AB)；

20.2.24

• 概率的性质，
  ①P(Ф) = 0；反之不然；②P(A) = 1 - P(A非)；③有限可加性；
  ④一般情况下，P(B - A) = P(B) - P(A)；⑤加法公式；
• 算概率，就画文氏图 (维恩图)，或者画一个长方块；
  有时候画图不如算，例如在算条件概率的传染病的时候；有的时候算不如画图直接、易懂；
• 等可能概型 (古典概型)，特征：
  S中基本事件有限；即样本点有限个；
  每个基本事件发生的可能性相同；
• 要把数数对，用排列组合；
  链接：关于排列组合.
  组合数，Combination；
  排列数，Arrangement；
• 随机分配问题；即随机占位；
  N 个盒子，无限制放 n 个球，一个一个的放球，每个球 N 种可能，共 Nⁿ；
• 随机抽样问题；放回抽样 Nⁿ；考虑顺序；
  不放回抽样，任取 (无序、无放回 用 C组合)；这两种取法最终概率是一样的；后者运算简单；
• 实际推断原理；
• 超几何分布，和几何没有关系；取出 k 个产品中恰有 i 个次品；
• 条件概率，在B发生的前提下，A发生的概率；P(A | B)；P(AB) / P(B)；
  一般AB有交集，若无则条件概率为0；
  就是指在B圈中，A发生的概率；
  乘法定理；P(AB) = P(A)P(B | A)；