【专题盘点1】组合数

首先，本蒟蒻先坦明，本篇文章不为提高组及 以上的选手服务(因为我太弱了)。

一些重要的公式/算法

①入门:

(1)基本运算律

即，像 $a+b=b+a$， $a(b+c)=ab+ac$， $a^n$ $×$ $b^n$ $=$ $(ab)^n$这样的文化课学的恒等式，这是编程中做数学题的基础。大家无论是普及组选手还是提高组选手，务必要记牢在学校学的所有数学芝士，千万不能因此出现关键时刻粗心出错导致十年OI一场空的情况。

(2)快速幂

如果不会，请进这道题: Luogu1226

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②基础:
(1)杨辉三角形

(2)组合数的定义与组合数的公式

※组合，即排列组合，为不考虑顺序的组合。本蒟蒻编个情景来解释 $C_n^k$的意义：存在 $n$个不同的不同的小球，选其中 $k$个小球放到篮子里的方案数。

※一些公式
这里仅列下几个，毕竟本蒟蒻一时间想不全。

① $C_n^k=(n!)/((n-k)!k!)$
② $C(n,k)=C(n-1,k-1),C(n-1,k)$
③ $Σ(i=0,n) C(n,i)=2^n$
④卢卡斯定理 (偷懒一下不写了)

注意关键在于组合数的运用，而不是背公式。

(3)组合数取模(阶乘逆元)

由于有的时候 $C_n^k$的值可能过大，所以题面往往会让你将答案对某个数取模；但是涉及到除法不能取模，那么我们就需要逆元。其简要推导过程如下:

$C_n^k$
$=(n!)/((n-k)!k!)$
$=(n!)×inv(((n-k)!k!))$

通常一道要用到组合数的题目中，需要多次使用组合数；那么我们为了O(1)时间内求 $C_n^k$，就需要预处理出 $inv(i!)$的值。这里要用到显而易见 的阶乘逆元。

$1/n!×n=1/(n-1)!$
即 $inv(n!)×n=inv(n-1)!$

我们可以先求出1至 $n$的阶乘，然后算出 $n!$的逆元，即 $inv(n)$的值，然后按照 $inv(n!)×n=inv(n-1)!$一步步递推即可。

当然我们也可以用卢卡斯定理来求一些组合数。这里不再论述 (它不常用) 。

一些"模板"

(1)把 $n$个不同的球放到 $k$个不同的盘子里，每个盘子非空，求方案数。由于答案可能过大，请将其对998244353取模。

不要跟我说你要用dp做

本题是最经典的插板法。

即，我们要在 $n$个苹果之间插板，把 $n$个苹果分成 $k$个区域。由于插 $k-1$个板即可得到 $k$的区域， $n$个苹果之间有 $n-1$个间隙，所以本题的答案就是 $C(n-1,k-1)$。

举个栗子: 当 $n=5, k=3$时求方案数。

○ ○ ○ ○ ○
我们要在 $n-1=4$个空隙中插 $k-1=2$个板。比如一种插板方式如下:

○ ○|○ ○|○
这样我们就把2个苹果分到了第一个盘子，2个苹果分到了第二个盘子，1个苹果分到了第三个盘子。

所以得到方案数为 $C_4^2=6$。

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(2)把 $n$个不同的球放到 $k$个不同的盘子里，每个盘子可以为空，求方案数。由于答案可能过大，请将其对998244353取模。

本题是经典的插板法。

即，我们要在 $n+k$个苹果之间插板，把 $n+k$个苹果分成 $k$个区域，第 $i$个区域的苹果树 $a_i$表示第 $i$个盘子里放 $a_i-1$个苹果。由于插 $k-1$个板即可得到 $k$的区域， $n+k$个苹果之间有 $n-k-1$个间隙，所以本题的答案就是 $C(n-1,k-1)$。

举个栗子: 当 $n=5, k=3$时求方案数。

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
我们要在 $n+k-1=7$个空隙中插 $k-1=2$个板。比如一种插板方式如下:

○ ○ ○|○ ○|○ ○ ○
这样我们就把3-1=2个苹果分到了第一个盘子，2-1=1个苹果分到了第二个盘子，3-1=2个苹果分到了第三个盘子。

所以得到方案数为 $C_7^2=21$。

本篇文章将会持续更新，目前更新到4.21!