第四章泊松过程3

1几何泊松过程

1.1定义

$\{N_t,t\geq 0\}$为独立增量过程，常数 $\sigma>-1,$定义 $N_t^{ge}=e^{N_tln(\sigma+1)-\lambda\sigma t}=(\sigma+1)^{N_t}e^{-\lambda t}$

性质

对于 $\forall 0\leq s<t$, $E\left[\frac{N_t^{ge}}{N_s^{ge}}\right]=1$
证明：

2复合泊松过程

1定义

设 $N=\{N_t,t\geq 0\}$是参数为 $\lambda$的泊松分布， $\{Y_k,k=1,2,...\}$是一系列独立同分布的随机变量，且与 $N$独立。那么我们令 $X_t=\sum_{n=1}^{N_t}Y_k$称 $X=\{X_t,t\geq 0\}$为复合泊松过程

• 理解
  Nt表示随机点数的个数， $Y_k$代表每个随机点数所携带的能量
• 性质
  • 可以由随机游动过程和泊松过程来表示
  • 满足平稳独立增量性

2数字特征

设随机变量的数学期望为 $\mu,$方差为 $\sigma^2,$计算复合泊松过程的期望方差相关函数。
期望：
$E[X_t]=E[\sum_{k=1}^{N_t}Y_k]=E[\sum_{k=1}^{N_t}Y_k|N_t=n]=E[E(\sum_{k=1}^{N_t}Y_k)P(N_t=n)]=E[n\mu]=\lambda t\mu$方差：
$E[(X_t-m_X(t)^2]=E[X_t^2-2X_tm_X(t)+m_X(t)^2]=E[X_t^2-2X_tm_X(t)+m_X(t)^2]$不同的 $Y_k$是独立的，所以要分两种情况讨论 $E[n(\mu ^2+\sigma^2)+n(n-1)\mu^2]-\mu^2\lambda^2t^2=\lambda t(\mu ^2+\sigma^2)+(\lambda^2 t^2+\lambda t)\mu^2-\lambda t\mu^2-\lambda^2 t^2\mu^2=\lambda t(\mu^2+\sigma^2)$
相关函数：
$E[X_sX_t]=E[X_s(X_t-X_s+X_s)]=E[X_s(X_t-X_s)]+E[X_s^2]=m_X(s)m_X(t-s)+E[X_s^2]$