凯利公式说明的是当我们参加一项有输有赢,但是收益的数学期望大于0的项目时,我们每次应当投入多少比例的本金能保证我们的收益最大化。
举个栗子,比方我们买比赛的输赢,每一场都是64开(别问怎么知道的,问就是内幕),猜对了赢得一倍的投入资金,输了投入资金全部没有了。显然这个比赛的收益数学期望为:
E(x)=(0.6∗1−0.4∗1)x=0.2x
0.2倍投入资金量的数学收益,显然很有赚头。但问题就来了,我每次投入本金的多少比例可以保证收益最大呢?
举极端例子看,我每次投入100%的本金,从数学期望公式上看是收益最多的。这样固然赢起来很爽,但是我们如果输了一次,就再也不能参与这项有赚头的比赛了(没有本金了),而且也失去了原来的钱。
如果我每次都投入1%的钱,即使不考虑本金降低带来的投入降低,40%概率发生的事件连续发生100把的概率也极低了,显然这样可以很安全的让我们在长期不亏甚至赚到一些钱,但是这样的收益率可想而知不是很高。
因此我们尝试用数学方法对他建模,看看他的理论最高收益:
设赢时收益率为W,输时收益率为-L,投入的本金比例为x,有p概率赢,q概率输,则问题转化为规划问题:
maxf(x)s.t.=(1+Wx)p(1−Lx)1−p0≤x≤1
对x求导:
f′(x)=Wp(1+Wx)p−1(1−Lx)1−p−Lq(1+Wx)p(1−Lx)q−1=Wp(1+Wx)−1f(x)−Lq(1−Lx)−1f(x)=0
即当f(x) 不为0时,即数学期望不为0时,有:
Wp(1−xLx)=Lq(1+Wx)=WLWp−Lq
当
W=1,−L=−1时,得到凯利公式。
用凯利公式解我们上面的问题,
x=1∗11∗0.6−1∗0.4=0.2
在股票投资当中,当一个信号发生时,通过统计过往该信号带来的盈利和亏损次数,可以将其简化为我们上面的模型,这时候通过凯利公式就可以为我们带来最佳盈利了。