ARIMA模型，全称为自回归积分滑动平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model），是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)于20世纪70年代初提出的一种时间序列预测方法。ARIMA模型是指在将非平稳时间序列转化为平稳时间序列过程中，将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。
注：时间序列模型适用于做短期预测，即统计序列过去的变化模式还未发生根本性变化。
在本教程中，您将了解如何使用Python为时间序列数据开发ARIMA模型。完成本教程后，您将了解：
1、关于ARIMA模型使用的参数和模型所做的假设。
2、如何使ARIMA模型适合数据并使用它来进行预测。
3、如何根据时间序列问题配置ARIMA模型。
让我们开始吧。
自回归整合移动平均模型
ARIMA模型是一类用于分析和预测时间序列数据的统计模型。它明确地迎合了时间序列数据中的一套标准结构，因此提供了一种简单而强大的方法来进行熟练的时间序列预测。ARIMA是的缩写。它是更简单的移动平均线的推广，并添加了集成的概念。这个首字母缩略词是描述性的，捕捉模型本身的关键方面。简而言之，它们是：
- AR：自回归。一种模型，它使用观察与一些滞后观察之间的依赖关系。
- 我：综合。使用原始观察的差分（例如，从前一时间步骤的观察中减去观察值）以使时间序列静止。
- MA：移动平均线。使用应用于滞后观察的移动平均模型中的观察和残差之间的依赖关系的模型。
这些组件中的每一个都在模型中明确指定为参数。标准符号用于ARIMA（p，d，q），其中参数用整数值代替，以快速指示正在使用的特定ARIMA模型。
ARIMA模型的参数定义如下：
- p：模型中包含的滞后观察数，也称为滞后顺序。
- d：原始观测值的差异次数，也称为差分程度。
- q：移动平均窗口的大小，也称为移动平均值的顺序。
构建包括指定数量和类型的项的线性回归模型，并且通过差分程度准备数据以使其静止，即去除对回归模型产生负面影响的趋势和季节结构。值0可用于参数，表示不使用模型的该元素。这样，ARIMA模型可以配置为执行ARMA模型的功能，甚至是简单的AR，I或MA模型。对时间序列采用ARIMA模型假设生成观察的基础过程是ARIMA过程。这似乎是显而易见的，但有助于激发在原始观测中确认模型假设的必要性以及模型预测的残差。接下来，我们来看看如何在Python中使用ARIMA模型。我们将从加载一个简单的单变量时间序列开始。
某销售数据集
该数据集描述了3年期间每月洗发水的销售数量。单位是销售计数，有36个。原始数据集截屏如下。如果大家想做类似模型或者深度学习方面的毕业设计需要数据集和完整结构可运行源码的可以加入QQ群：457756921；该群内有数据集；
下载数据集并将其放在当前工作目录中，文件名为 “ shampoo-sales.csv ”。
下面是使用Pandas加载Shampoo Sales数据集以及解析日期时间字段的自定义函数的示例。数据集以任意年份为基线，在本例中为1900。
from pandas import read_csv
from pandas import datetime
from matplotlib import pyplot
def parser(x):
return datetime.strptime('190'+x, '%Y-%m')
series = read_csv('shampoo-sales.csv', header=0, parse_dates=[0], index_col=0, squeeze=True, date_parser=parser)
print(series.head())
series.plot()
pyplot.show()
#运行该示例将打印数据集的前5行。
运行该示例将打印数据集的前5行。
| 1 2 3 4 5 6 7 |
Month 1901-01-01 266.0 1901-02-01 145.9 1901-03-01 183.1 1901-04-01 119.3 1901-05-01 180.3 Name: Sales, dtype: float64 |
数据也绘制为时间序列，沿x轴的月份和y轴的销售数字。
洗发水销售数据集图
我们可以看到Shampoo Sales数据集有一个明显的趋势。这表明时间序列不是静止的并且需要差分以使其静止，至少差异为1。让我们快速浏览一下时间序列的自相关图。这也是Pandas内置的。下面的示例绘制了时间序列中大量滞后的自相关。
from pandas import read_csv
from pandas import datetime
from matplotlib import pyplot
from pandas.tools.plotting import autocorrelation_plot
def parser(x):
return datetime.strptime('190'+x, '%Y-%m')
series = read_csv('shampoo-sales.csv', header=0, parse_dates=[0], index_col=0, squeeze=True, date_parser=parser)
autocorrelation_plot(series)
pyplot.show()运行这个例子，我们可以看到与前10个到12个滞后的正相关，这可能对前5个滞后很重要。模型的AR参数的良好起点可以是5。
洗发水销售数据的自相关图
ARIMA与Python
statsmodels库提供适合ARIMA模型的功能。
可以使用statsmodels库创建ARIMA模型，如下所示：
- 通过调用ARIMA（）并传入p，d和q参数来定义模型。
- 通过调用fit（）函数在训练数据上准备模型。
- 可以通过调用predict（）函数并指定要预测的时间或索引的时间索引来进行预测。
让我们从简单的事情开始吧。我们将ARIMA模型与整个Shampoo Sales数据集相匹配，并检查残差。
首先，我们适合ARIMA（5,1,0）模型。这将自动回归的滞后值设置为5，使用差值顺序1使时间序列静止，并使用0的移动平均模型。
在拟合模型时，提供了大量关于线性回归模型拟合的调试信息。我们可以通过将disp参数设置为0 来关闭它。
from pandas import read_csv
from pandas import datetime
from pandas import DataFrame
from statsmodels.tsa.arima_model import ARIMA
from matplotlib import pyplot
def parser(x):
return datetime.strptime('190'+x, '%Y-%m')
series = read_csv('shampoo-sales.csv', header=0, parse_dates=[0], index_col=0, squeeze=True, date_parser=parser)
# fit model
model = ARIMA(series, order=(5,1,0))
model_fit = model.fit(disp=0)
print(model_fit.summary())
# plot residual errors
residuals = DataFrame(model_fit.resid)
residuals.plot()
pyplot.show()
residuals.plot(kind='kde')
pyplot.show()
print(residuals.describe())运行该示例将打印拟合模型的摘要。这总结了所使用的系数值以及样本内观察的拟合技巧。
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ARIMA Model Results ============================================================================== Dep. Variable: D.Sales No. Observations: 35 Model: ARIMA(5, 1, 0) Log Likelihood -196.170 Method: css-mle S.D. of innovations 64.241 Date: Mon, 12 Dec 2016 AIC 406.340 Time: 11:09:13 BIC 417.227 Sample: 02-01-1901 HQIC 410.098 - 12-01-1903 ================================================================================= coef std err z P>|z| [95.0% Conf. Int.] --------------------------------------------------------------------------------- const 12.0649 3.652 3.304 0.003 4.908 19.222 ar.L1.D.Sales -1.1082 0.183 -6.063 0.000 -1.466 -0.750 ar.L2.D.Sales -0.6203 0.282 -2.203 0.036 -1.172 -0.068 ar.L3.D.Sales -0.3606 0.295 -1.222 0.231 -0.939 0.218 ar.L4.D.Sales -0.1252 0.280 -0.447 0.658 -0.674 0.424 ar.L5.D.Sales 0.1289 0.191 0.673 0.506 -0.246 0.504 Roots ============================================================================= Real Imaginary Modulus Frequency ----------------------------------------------------------------------------- AR.1 -1.0617 -0.5064j 1.1763 -0.4292 AR.2 -1.0617 +0.5064j 1.1763 0.4292 AR.3 0.0816 -1.3804j 1.3828 -0.2406 AR.4 0.0816 +1.3804j 1.3828 0.2406 AR.5 2.9315 -0.0000j 2.9315 -0.0000 ----------------------------------------------------------------------------- |
首先，我们得到残差的线图，表明模型可能仍然存在一些趋势信息。
ARMA Fit残差错误线图
接下来，我们得到残余误差值的密度图，表明误差是高斯的，但可能不是以零为中心。
ARMA Fit残差误差密度图
显示残差的分布。结果表明，预测中确实存在偏差（残差中的非零均值）。
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count 35.000000 mean -5.495213 std 68.132882 min -133.296597 25% -42.477935 50% -7.186584 75% 24.748357 max 133.237980 |
请注意，虽然上面我们使用整个数据集进行时间序列分析，但理想情况下，我们会在开发预测模型时仅对训练数据集执行此分析。
接下来，让我们看看如何使用ARIMA模型进行预测。
滚动预测ARIMA模型
ARIMA模型可用于预测未来的时间步长。
我们可以使用ARIMAResults对象上的predict（）函数进行预测。它接受将预测作为参数的时间步长索引。这些索引与用于进行预测的训练数据集的起点相关。
如果我们在训练数据集中使用100个观测值来拟合模型，那么用于进行预测的下一个时间步骤的索引将被指定给预测函数，如start = 101，end = 101。这将返回一个包含预测的一个元素的数组。
如果我们执行任何差分（在配置模型时d> 0），我们也希望预测值在原始比例中。这可以通过将typ参数设置为'levels' 值来指定 ：typ ='levels'。
或者，我们可以通过使用forecast（）函数来避免所有这些规范，该函数使用模型执行一步预测。
我们可以将训练数据集拆分为训练集和测试集，使用训练集来拟合模型，并为测试集上的每个元素生成预测。
考虑到差异的先前时间步长和AR模型的观察依赖性，需要滚动预测。执行此滚动预测的一种粗略方法是在收到每个新观察后重新创建ARIMA模型。
我们手动跟踪名为历史的列表中的所有观察结果，该列表与训练数据一起播种，并且每次迭代都附加新的观察结果。
综上所述，下面是使用Python中的ARIMA模型进行滚动预测的示例。
from pandas import read_csv
from pandas import datetime
from matplotlib import pyplot
from statsmodels.tsa.arima_model import ARIMA
from sklearn.metrics import mean_squared_error
def parser(x):
return datetime.strptime('190'+x, '%Y-%m')
series = read_csv('shampoo-sales.csv', header=0, parse_dates=[0], index_col=0, squeeze=True, date_parser=parser)
X = series.values
size = int(len(X) * 0.66)
train, test = X[0:size], X[size:len(X)]
history = [x for x in train]
predictions = list()
for t in range(len(test)):
model = ARIMA(history, order=(5,1,0))
model_fit = model.fit(disp=0)
output = model_fit.forecast()
yhat = output[0]
predictions.append(yhat)
obs = test[t]
history.append(obs)
print('predicted=%f, expected=%f' % (yhat, obs))
error = mean_squared_error(test, predictions)
print('Test MSE: %.3f' % error)
# plot
pyplot.plot(test)
pyplot.plot(predictions, color='red')
pyplot.show()运行该示例会在每次迭代时打印预测值和期望值。
我们还可以计算预测的最终均方误差分数（MSE），为其他ARIMA配置提供比较点。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 |
predicted=349.117688, expected=342.300000 predicted=306.512968, expected=339.700000 predicted=387.376422, expected=440.400000 predicted=348.154111, expected=315.900000 predicted=386.308808, expected=439.300000 predicted=356.081996, expected=401.300000 predicted=446.379501, expected=437.400000 predicted=394.737286, expected=575.500000 predicted=434.915566, expected=407.600000 predicted=507.923407, expected=682.000000 predicted=435.483082, expected=475.300000 predicted=652.743772, expected=581.300000 predicted=546.343485, expected=646.900000 Test MSE: 6958.325 |
创建一个线图，显示与滚动预测预测（红色）相比的预期值（蓝色）。我们可以看到这些值显示出一些趋势，并且具有正确的比例。
ARIMA滚动预测线图
该模型可以使用p，d甚至q参数的进一步调整。
配置ARIMA模型
拟合ARIMA模型的经典方法是遵循Box-Jenkins。
这是一个使用时间序列分析和诊断来发现ARIMA模型的良好参数的过程。
总之，该过程的步骤如下：
- 模型识别。使用图和汇总统计数据来识别趋势，季节性和自回归元素，以了解差异量和所需滞后的大小。
- 参数估计。使用拟合程序查找回归模型的系数。
- 模型检查。使用残差的图和统计检验来确定模型未捕获的时间结构的数量和类型。
重复该过程，直到在样品内或样品外观察（例如训练或测试数据集）上达到所需的拟合水平。
这个过程在经典的1970年教科书中描述，主题为时间序列分析：的预测和控制。如果您有兴趣深入了解这种类型的模型和方法，现在可以获得更新的第5版。
鉴于该模型可以有效地适应中等大小的时间序列数据集，模型的网格搜索参数可能是一种有价值的方法。
