题意
有一个 的矩阵,每次可以往一个格子 ,或在任意相邻的两个格子 ,可以操作无限次。给定一个限制 ,问有多少种初始情况满足 ,使得经过若干次操作后所有格子高度相等。
分析
日常感叹我太弱了。。。
首先,由于有
操作,所以对于任意一个初始矩阵,都可以由一个
矩阵不断
转化而来。所以,我们其实只关心每个位置的奇偶性。
然后对于
操作,相当于改变相邻两个格子的奇偶性,即是
变成
,
变成
。
然后接下来有个重要的观察!
为奇数时,所有初始情况都可行!
为什么呢?当
为奇数时,一定有偶数个格子为
或
。下面考虑偶数个格子为
的情况(另一种情况与此等价)。翻转操作我们可以看成在走路。如果相邻位置是
,相当于交换
的位置;如果相邻位置是
,那么它们将相消。所以,两个
一定是可以相消的,即是从一个
走到另一个
。于是,偶数个
格子一定可以化为
。
所以
那么
为偶数时呢?
可以发现,由上述观察,我们可以发现,满足条件为:有偶数个
格子和偶数个
格子,这样才可能消完
或
。假设
有
个奇数,
个偶数,那么我们枚举
格子的数量,有:
其实就是二项式定理取偶数项。
要得到
,只需要
就好了。
代码如下
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
const int mod = 998244353;
LL z = 1;
int read(){
int x, f = 1;
char ch;
while(ch = getchar(), ch < '0' || ch > '9') if(ch == '-') f = -1;
x = ch - '0';
while(ch = getchar(), ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - 48;
return x * f;
}
int ksm(int a, int b, int p){
int s = 1;
while(b){
if(b & 1) s = z * s * a % p;
a = z * a * a % p;
b >>= 1;
}
return s;
}
int main(){
int i, j, n, m, l, r, k, t, inv2;
inv2 = ksm(2, mod - 2, mod);
n = read(); m = read(); l = read(); r = read();
k = (r - l + 1) / 2;
if(l % 2 && r % 2) k++;
t = (r - l + 1) - k;//k 为奇数的个数,t 为偶数的个数
if(n % 2 && m % 2){
printf("%d", ksm(ksm(r - l + 1, n, mod), m, mod));
}
else{
i = ksm(ksm(k + t, n, mod), m, mod);
j = ksm(ksm(k - t, n, mod), m, mod);
i = z * (i + j) * inv2 % mod;
i = (i + mod) % mod;
printf("%d", i);
}
return 0;
}