本试验取材于中南大学《科学计算与MATLAB语言》。
直接解法
- 高斯消去法
- 列主元消去法
- 矩阵的三角分解法
（1）利用左除运算符的直接解法
Ax=b------>x=a\b
注意：如果矩阵A是奇异的或接近奇异的，则MATLAB会给出警告信息。
>> A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
>> b=[13,-9,6,0]';
>> x=A\b
x =
-66.5556
25.6667
-18.7778
26.5556
(2)利用矩阵分解求解线性方程组
- LU分解
- QR分解
- Cholesky分解
>> A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];
>> b=[13,-9,6,0]';
>> [L,U]=lu(A);
>> x=U\(L\b)
x =
-66.5556
25.6667
-18.7778
26.5556
>>
迭代解法
- 雅可比（Jacobi）迭代法
- 高斯-赛德尔（Gauss-Serdel）迭代法
这里先讲一下雅可比迭代法，雅可比迭代法，特别花里胡哨，但是我在求复合函数偏导数特别好使，因此下面给出雅可比迭代法的具体实现步数
创建一个jacobi.m
function [y,n]=jacobi(A,b,x0,ep)
%%输出的参数 y指方程的解 n为迭代的次数
% 输入的参数分别是系数矩阵 右端列向量 迭代的初值 精度
D=diag(diag(A))%%求对角矩阵
L=-tril(A,-1);%%求下三角
U=-triu(A,1);%%求上三角
B=D\(L+U);
f=D\b;
y=B*x0+f;
n=1;
while norm(y-x0)>=ep %%用2范数去逼近
x0=y;
y=B*x0+f;
n=n+1;
end
这段代码巧妙实现了雅可比迭代算法流程
(2)高斯–赛德尔（Gauss-Serdel）迭代法
第二种方法是站在第一种方法基础上，将代码稍微更改，直接变成高斯—赛德尔迭代法.
创建一个gauseidel.m
function [y,n]=gauseidel(A,b,x0,ep)
D=diag(diag(A))%%求对角矩阵
L=-tril(A,-1);%%求下三角
U=-triu(A,1);%%求上三角
B=(D-L)\U;
f=(D-L)\b;
y=B*x0+f;
n=1;
while norm(y-x0)>=ep %%用2范数去逼近
x0=y;
y=B*x0+f;
n=n+1;
end
>> A=[4,-2,-1;-2,4,3;-1,-3,3];
>> b=[1,5,0]';
>> [x,n]=jacobi(A,b,[0,0,0]',1.0e-6)
x =
0.9706
0.8529
1.1765
n =
35
>> [x,n]=gauseidel(A,b,[0,0,0]',1.0e-6)
x =
0.9706
0.8529
1.1765
n =
16
>>
小结：虽然你可以看到感觉高斯迭代次数更少，可以直接迭代出更雅可比一样的值，但现实是两者无法作为比较，一种可能连收敛性都无法确定。
>> A=[1,2,-2;1,1,1;2,2,1];
>> b=[9;7;6];
>> [x,n]=jacobi(A,b,[0;0;0],1.0e-6)
x =
-27
26
8
n =
4
>> [x,n]=gauseidel(A,b,[0;0;0],1.0e-6)
x =
1.0e+305 *
-Inf
Inf
-1.7556
n =
1011
>>
相信各位看官看见了，高斯迭代竟然不收敛！
