Klein对几何的定义是: 存在一个空间E，以及作用在空间E上的变换群G，几何是研究在变换群G作用下空间E的不变性质。欧氏几何研究的是在欧氏运动下空间图形不变性质，微分几何研究的是在微分同胚变换下微分流形的不变性质。微分流形及其张量场是微分几何的主要研究对象[3]。

如何刻画一条曲线

在三维欧氏空间 $E^{3}$ 中的曲线可以看作是某区间 $I\subset R$ 到 $E^{3}$ 的一个同胚映射 $r: I \rightarrow E^{3}$ , 也可以看作一个点随时间的变化而运动的轨迹。

刻画曲线通常是通过曲线上任意一个点的在空间的某一坐标系中的坐标值来实现. 假设 $E^{3}$ 的欧式空间有固定的右手单位正交标架. 欧式空间中的一条曲线可以表示为一个一元向量函数.

r = r (t) = [x (t), y (t), z (t)]

$r = r(t) = [x(t), y(t), z(t)]$
从上述定义可以看出，要想用数学解析方法刻画一条三维欧氏空间

E^{3}

$E^{3}$ 中的曲线，需要用到欧氏空间，标架，向量，向量函数等工具，下面就依次给出这些基本概念的定义。

三维欧氏空间

三维欧氏空间 $E^{3}$ 是一个非空集合,其中元素称为点, 这些点具有以下属性:

任意两个不同的点唯一地决定了连接它们的直线
不在一条直线上的任意三个不同的点唯一地决定了通过这三点的平面
$E^{3}$ 中存在不共面的四个不同的点
过直线外任意一点能且只能做一条直线与已知直线平行

向量

三维欧氏空间 $E^{3}$ 中任意两个不同的点 $A,B \in E^{3}$ 都可以连成一条直线段, 记为 $AB$ . 如果指定 $A$ 为起点, $B$ 为终点, $AB$ 称为有向线段. 所有相等的有向线段的集合称为一个向量.

标架

三维欧氏空间 $E^{3}$ 中不共面的任意四个不同的点 $O,A,B,C \in E^{3}$ , 可得三个不共面的向量 $OA, OB, OC$ , 则 $\{ O, OA, OB, OC \}$ 称为 $E^{3}$ 中的一个标架.

基于标架 $\{ O, OA, OB, OC \}$ , 三维欧氏空间 $E^{3}$ 中任意一点 $p$ 与三个实数构成的数组 $\{ x, y, z \}$ 一一对应, 称为点 $p$ 关于标架 $\{ O, OA, OB, OC \}$ 的坐标.

取三维欧氏空间 $E^{3}$ 中一个标架 $\{ O, i, j, k \}$ , 如 $i, j, k$ 是相互垂直, 并构成右手系的三个单位向量, 则标架 $\{ O, i, j, k \}$ 是右手单位正交标架, 简称正交标架. 由正交标架给出的坐标系称为笛卡尔直角坐标系.

取三维欧氏空间 $E^{3}$ 中两个不同的正交标架 $\{ O, i, j, k \}$ 和 $\{ p, e_{1}, e_{2}, e_{3} \}$ , 则两者之间的关系为:

O p = a_{1} i + a_{2} j + a_{3} k e_{1} = a_{11} i + a_{12} j + a_{13} k e_{2} = a_{21} i + a_{22} j + a_{23} k e_{3} = a_{31} i + a_{32} j + a_{33} k

$Op = a_{1} i + a_{2}j + a_{3}k \\ e_{1} = a_{11} i + a_{12}j + a_{13}k \\ e_{2} = a_{21} i + a_{22}j + a_{23}k \\ e_{3} = a_{31} i + a_{32}j + a_{33}k$

令

a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})

$a = ( a_{1} , a_{2}, a_{3} )$

A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}]

$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix}$

三维欧氏空间 $E^{3}$ 中取定一个正交标架 $\{ O, i, j, k \}$ , $E^{3}$ 中任意一个正交标架 $\{ p, e_{1}, e_{2}, e_{3} \}$ 与矩阵对 $(a,A)$ 一一对应.

三维欧氏空间 $E^{3}$ 中取定笛卡尔直角坐标系后, $E^{3}$ 中的几何图形就可以用坐标刻画. 几何图形的固有性质可以用坐标表达. 这种性质只与几何图形有关, 与坐标系的选取无关. 几何图形的用笛卡尔直角坐标表示的量与笛卡尔直角坐标系选取无关, 称为几何不变量.

向量函数

三维欧氏空间 $E^{3}$ 中全体向量组成的空间称为三维欧氏向量空间. 给定一个正交标架 $\{ O, i, j, k \}$ 后, 三维欧氏向量空间等同于由三个有序实数的组构成的空间 $R^{3}$

正则参数曲线

微分几何是微积分在几何学中的应用. Euler使用参数方程来刻画曲线. 微分几何所研究的曲线的参数方程是连续可微的向量函数. 如果某一曲线的向量函数 $r$ 满足以下条件：
1. $r(t)$ 是自变量 $t$ 的三次以上连续可微函数
2. 对任意 $t$ 有 $r'(t) \neq 0$
则,这样的参数曲线称为正则参数曲线[1].

引理

一个正则参数曲线 $r(t)$ ，如果 $|r(t)| = 1$ ,则 $r'(t)$ 垂直于 $r(t)$ 。
证:
由 $|r(t)| = 1$ ,
既 $r(t) \cdot r(t) = 1$
对上式两边求导得
$2r'(t)\cdot r(t) = 0$
既 $r'(t) \cdot r(t) = 0$
则 $r'(t)$ 垂直于 $r(t)$

弧长

设有一个正则参数曲线 $r(t)$ ，

s = \int_{a}^{b} | r^{'} (t) | d t

$s = \int_{a}^{b} |r'(t)|dt$

s

$s$ 是该曲线的不变量，其几何意义是该曲线的弧长。以弧长为正则曲线参数的充要条件是该曲线的切向量场是单位切向量场，即

| r^{'} (t) | = 1

$|r'(t)| = 1$ 。

曲率

如果曲线 $C$ 以弧长做正则参数， $\alpha = r'(s)$

κ (s) = | \frac{d α}{d s} | = | \frac{r^{'} (s)}{d s} | = | r^{″} (s) |

$\kappa(s) =| \frac{d\alpha}{ds}| =| \frac{r'(s)}{ds}| = |r''(s)|$
则

κ (s)

$\kappa(s)$ 为

r (s)

$r(s)$ 在

s

$s$ 处的曲率。

Frenet标架

把曲线 $C$ 的单位切向量 $\alpha(s)$ 平行移动到原点 $O$ ，则曲线上各点的单位切向量的端点构成一条曲线，称为曲线 $C$ 的切线像。切线像的弧长元素

d \bar{s} = | \frac{d α}{d s} | d s = κ (s) d s

$d\bar{s}=| \frac{d\alpha}{ds}| ds= \kappa(s)ds$

κ (s) = \frac{d \bar{s}}{d s}

$\kappa(s) = \frac{d\bar{s}}{ds}$
曲率的几何意义是曲线的切线像的弧长元素与曲线的弧长元素之比。
因

| α (s) | = 1

$|\alpha(s)| = 1$ ,

α (s)

$\alpha(s)$ 垂直于

α^{'} (s)

$\alpha'(s)$ 。

α^{'} (s)

$\alpha'(s)$ 是曲线的一个法向量，如果

κ (s)

$\kappa(s)$ 不为零，这个方向的单位向量记为

β (s)

$\beta(s)$ , 称为曲线的主法向量。令

γ (s) = α (s) \times β (s)

$\gamma(s) = \alpha(s) \times \beta(s)$
称为曲线的次法向量。

挠率

曲线在一点的切线和主法线所张成的平面称为曲线的密切平面。密切平面的法向量 $\gamma$ 关于弧长参数 $s$ 的导数的长度 $|\gamma'(s)|$ 反映了曲线扭曲的程度，称为挠率.

γ (s) = α (s) \times β (s)

$\gamma(s) = \alpha(s) \times \beta(s)$

γ^{'} (s) = α^{'} (s) \times β (s) + α (s) \times β^{'} (s)

$\gamma'(s) = \alpha'(s) \times \beta(s) + \alpha(s) \times \beta'(s)$

α^{'} (s)

$\alpha'(s)$ 与

β (s)

$\beta(s)$ 平行，

α^{'} (s) \times β (s) = 0

$\alpha'(s) \times \beta(s) = 0$

γ^{'} (s) = α^{'} (s) \times β (s) + α (s) \times β^{'} (s) = α (s) \times β^{'} (s)

$\gamma'(s) = \alpha'(s) \times \beta(s) + \alpha(s) \times \beta'(s) = \alpha(s) \times \beta'(s)$

(未完待续)

参考文献

[1] 陈维桓. 微分几何. [北京] 北京大学出版社, 2006.
[2] Differential geometry textbook recommendations and historically interesting workshttp://www.geometry.org/tex/conc/differential_geometry_books.html
[3] 候伯元, 候伯宇. 物理学家用微分几何. [北京]科学出版社, 2004.

曲线