【图论】C_算竞_社交网络（Floyd 统计最短路数量）

一、题目描述

在社交网络（socialnetwork）的研究中，我们常常使用图论概念去解释一些社会现象。

不妨看这样的一个问题。

在一个社交圈子里有n个人，人与人之间有不同程度的关系。

我们将这个关系网络对应到一个n个结点的无向图上，两个不同的人若互相认识，则在他们对应的结点之间连接一条无向边，并附上一个正数权值c，c越小，表示两个人之间的关系越密切。

我们可以用对应结点之间的最短路长度来衡量两个人s和t之间的关系密切程度，注意到最短路径上的其他结点为s和t的联系提供了某种便利，即这些结点对于s和t之间的联系有一定的重要程度。

我们可以通过统计经过一个结点v的最短路径的数目来衡量该结点在社交网络中的重要程度。

考虑到两个结点A和B之间可能会有多条最短路径。

我们修改重要程度的定义如下：令Cs,t表示从s到t的不同的最短路的数目，Cs,t(v)表示经过v的从s到t的最短路的数目；

则定义

为结点v在社交网络中的重要程度。

为了使I(v)和Cs,t(v)有意义，我们规定需要处理的社交网络都是连通的无向图，即任意两个结点之间都有一条有限长度的最短路径。

现在给出这样一幅描述社交网络的加权无向图，请你求出每一个结点的重要程度。

输入格式

输入第一行有两个整数n和m，表示社交网络中结点和无向边的数目。

在无向图中，我们将所有结点从1到n进行编号。

接下来m行，每行用三个整数a，b，c描述一条连接结点a和b，权值为c的无向边。

注意任意两个结点之间最多有一条无向边相连，无向图中也不会出现自环（即不存在一条无向边的两个端点是相同的结点）。

所有数据中保证给出的无向图连通，且任意两个结点之间的最短路径数目不超过 1010。

输出格式

输出包括n行，每行一个实数，精确到小数点后3位。
第i行的实数表示结点i在社交网络中的重要程度。

数据范围
n≤100,m≤4500,1≤c≤1000

输入样例：
4 4
1 2 1
2 3 1
3 4 1
4 1 1
输出样例：
1.000
1.000
1.000
1.000

二、题解

方法一：Floyd

• 当 d[i][j] > d[i][k] + d[k][j] 时，我们认为从 i 到 j 的不经过 k 的最短路条数是和经过 k 的最短路条数一样。
• 当 d[i][j] = d[i][k] + d[k][j] 时，我们认为从 i 到 j 的不经过 k 的最短路条数应该加上经过 k 的最短路条数。

Q&A：

• Q1：为什么最后大的那个样例得到的答案是 WA？
  A1： 最短路数目不超过 $10^{10}$，也就是说，如果有乘法 × 出现，那么计算结果将会变得很大。如果你将 INF 定义为 0x3f，那么很容易就超了，所以，当出现乘法 × ，一定要将平时定义的常量都开大。

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{
	static int V, E;
	static double[][] d,c;
	static int INF = (int)1e20;	//注
	static int maxv = 100 + 50, maxe = 4500 + 50;
	static void floyd() {
		for (int k = 1; k <= V; k++)
		for (int i = 1; i <= V; i++)
		for (int j = 1; j <= V; j++) {
			if(k == i || i == j || k == j)
				continue;
			if (d[i][j] > d[i][k] + d[k][j]) {
				d[i][j] = d[i][k] + d[k][j];
				c[i][j] = c[i][k] * c[k][j];
			} else if (d[i][j] == d[i][k] + d[k][j]) {
				c[i][j] += c[i][k] * c[k][j];
			}
		}
	}
    public static void main(String[] args) throws IOException {  
        Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
		V = sc.nextInt();
		E = sc.nextInt();
        c = new double[maxv][maxv];		
        d = new double[maxv][maxv];	
		
        for (int i = 1; i <= V; i++)
		for (int j = 1; j <= V; j++) {
		    if (i != j) {
		        d[i][j] = INF;
		    }
		}
		
		for (int i = 0; i < E; i++) {
			int a = sc.nextInt();
			int b = sc.nextInt();
			double w = sc.nextDouble();
			d[a][b] = d[b][a] = w;
			c[a][b] = c[b][a] = 1;
		}
		floyd();
		double[] imp = new double[V+1];
		for (int i = 1; i <= V; i++)
		for (int j = 1; j <= V; j++)
		for (int v = 1; v <= V; v++) {
		    if (i == j || j == v || i == v)
				continue;
		    if (d[i][j] == d[i][v] + d[v][j])
				imp[v] += (c[i][v]*c[v][j]) / c[i][j];
		}
	    for (int i = 1; i <= V; i++) {
			System.out.printf("%.3f\n", imp[i]);
		}
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(V^3)$，
• 空间复杂度： $O(V^3)$，