数制和码制
什么是数制、码制？
数制是人们对数量计数的一种统计规则。
一种数制包含两个基本因素：
- 系数：数制中所用到的数码，常用R表示。
- 位权：处在不同数位的数码，代表着不同的数值；每一个数位的数值是由该位数码的值乘以处在这位的一个固定常数。
数制
常见数制
数码为：0~9；基数是10。
进位规则：逢十进一
十进制的权展开式：\(\displaystyle (D)_{10}=\sum^{n-1}_{i=-m}{k_i\times10^i}\)
八进制的权展开式：\(\displaystyle (D)_{8}=\sum^{n-1}_{i=-m}{k_i\times8^i}\)
二进制的权展开式：\(\displaystyle (D)_{2}=\sum^{n-1}_{i=-m}{k_i\times2^i}\)
常用的数制有：十进制、二进制、八进制、十六进制
数制的表示方法： 括弧加下标；在数字后面加数制后缀。
| 十进制 | \((163)_{10}\) | \((163)_{D}\) | \(163\) |
|---|---|---|---|
| 二进制 | \((101.01)_2\) | \((101.01)_B\) | \(101.01B\) |
| 八进制 | \((76.2)_8\) | \((78.2)_O\) | \(76.2O\) |
| 十六进制 | \((00ff00)_{16}\) | \((00ff00)_H\) | \(00ff00H\) |
不同数制之间的转换
1. 各种数制转换成10进制
按权展开求和
2. 十进制转换为二进制
整数和小数分别转换
- 整数部分：除2取余法
- 小数部分：乘2取整法，直到积中的小数为0或达到指定精度
举例：
25======》11001
==》011
25.375=》11001.011
3. 二进制转八进制
从小数点开始，整数部分向左，（小数部分向右）三位一组，最后不足三位的加0补足三位。
4. 八进制转二进制
每位八进制数用三位二进制数代替。
5. 二进制转16进制
从小数点开始，整数部分向左（小数部分向右）四位一组，最后不足四位的加0补足四位。
6. 16进制转二进制
每位16进制数用四位二进制数代替。
码制
二进制编码
以n位二进制代码（0,1）来表示某个状态、事物或信息称为二进制编码。
8421BCD码
用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码。注：前十个码子为（0,1,2.....7,8,9）
一位十进制数对应四位二进制代码。
逻辑函数中的运算
- 在数字电路中，主要研究的是电路的输入与输出之间的逻辑关系，因此数字电路又称逻辑电路，其研究工具是逻辑代数
逻辑函数中有哪些基本运算？
- 与运算
仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A,B,C......）均满足时，事件（Y）才能发生。表达式为：Y=AxBxC... - 或运算
当决定事件（Y）发生的各种条件（A,B,C......）中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。表达式为：Y=A+B+C... - 非运算
指逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足时，事件反而发生。表达式为：Y=A'
逻辑函数中有哪些复合运算？
-
与非
与非运算逻辑表达式：Y=（AxB）'
-
或非
与非运算逻辑表达式：Y=（A+B）'
-
异或
异或运算逻辑表达式：Y=A'B+AB'=A ⊕ B
-
同或
同或运算逻辑表达式：Y=A'B'+AB=A⊙ B
-
与或非
与或非运算逻辑表达式：Y=（AxB+CxD）'
逻辑函数中的运算定律及规则
逻辑代数中的基本定律、常用公式
公理
- \(\overline1=0\) \(\overline0=1\)
- \(1\cdot1=1\) \(0+0=0\)
- \(1\cdot0=0\cdot1=0\) ; $1+0=0+1=$1
- \(0\cdot0=0\) \(1+1=1\)
- 如果\(A\neq0\),则\(A=1\) ;如果\(A\neq1\),则\(A=0\) 。
基本定律
-
交换律 \(A\cdot B=B\cdot A\) ; \(A+B=B+A\)
-
结合律 \(A(BC)=(AB)C\) ; \(A+(B+C)=(A+B)+C\)
-
分配率 \(A(B+C)=AB+AC\)
-
0 1 律 \(1\cdot A=A\) ; \(A+0=A\) \(0\cdot A=0\) ; \(A+1=1\)
-
互补率 \(A\cdot \overline A=0\) \(A+\overline A=1\)
-
重叠率 \(A\cdot A=A\) \(A+A=A\)
-
反演律--摩根定律 \(\overline {A\cdot B}=\overline A+\overline B\) \(\overline {A+B}=\overline A \cdot \overline B\)
口诀：与非等与非或 或非等于非与
-
还原率 \(\overline{\overline A}=A\)
常用公式
- \(A+\overline AB=A+B\)
- \(AB+\overline AC+BC=AB+\overline AC\)
逻辑函数的基本规则
带入规则
在一个含有变量A的逻辑代数等式中，如果将所有出现A 的地方都带之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。
反演规则
用于求函数的反函数
与换成或，所有的或换成与，0换成1,1换成0.
原变量换成反变量，反变量换成原变量。
对偶规则
对于表达式F ，如果将F中的 与换成或，或换成与，1换成0，0换成1，变量保持不变，原式的优先顺序不变 得到新的逻辑表达式，称为F的对偶表达式\(F^D\) 。
对偶规则：两个逻辑式相等，则其对偶式也相等。若\(F=G\)，则：\(F^D=G^D\)
逻辑函数的基本表示方法
逻辑函数概念
如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。
输出与输入之间的函数关系称为逻辑函数。\(\color{red}{Y=F(A,B,C……)}\)
逻辑函数有哪些表示方法
逻辑函数表示方法之间的转换
总结：
学习目标
了解数字电路的基础知识：掌握以下概念和方法：数字电路、数制、数字电路的分析方法、数字电路中的基本运算、基本定律、逻辑函数化简的原因和方法。
学习内容
数制、码制、逻辑函数的基本运算、基本定律及化简方法。
本章重点、难点
逻辑函数的基本运算、基本定律及化简方法。
建议学习策略
多看、细看PPT，理解基本概念(如：什么是数制？)，掌握基本方法（如卡诺图化简逻辑函数的方法）。
习题
逻辑代数中基本逻辑运算是哪3种？
什么是逻辑函数的卡诺图?
逻辑函数的卡诺图化简法的化简依据是什么？
怎样用卡诺图来表示逻辑函数?
什么是n变量逻辑函数的最小项？
什么是逻辑代数中的对偶规则？
什么是逻辑代数中的反演规则？
什么是逻辑代数中的代入规则？
数制包含哪两个基本因素？