爱心调制

^{▲ 波浪}

将信号调制在高频的载波信号上，可以改变信号的频谱。调制后的信号频谱将会围绕的载波频率形成上边带和下边带频谱。下面给出了高频载波信号和低频普通信号的波形以及函数表达式。

$f_c \left( t \right) = \cos \left( {2\pi \cdot 30 \times 10^3 t} \right)$ $f\left( t \right) = \cos \left( {2\pi \cdot 10^3 t} \right)$

^{▲ 信号与高频载波信号}

幅度调制是将低频信号与载波信号相乘之后的结果。如果信号为交流信号，每一次信号过零点（从负变到正，或者从正变到负）都会引起信号载波的相位反转180°。信号波形本身也会交替出现在调制波形的上包络线和下包络线。

为了使得信号完整的出现在上包络线（或者下包络线上）需要保证调制低频信号幅值始终保持大于零，这一点可以通过在交流信号上叠加一个大的直流常量来实现。此时就形成了常见到的普通调幅波形。而对前面没有叠加直流常量的幅度调制成为载波抑制的调幅波形。

$f_{AMCS} \left( t \right) = \cos \left( {2\pi \cdot 30 \times 10^3 t} \right) \cdot \cos \left( {2\pi \cdot 10^3 t} \right)$ $f_{AM} \left( t \right) = \cos \left( {2\pi \cdot 30 \times 10^3 t} \right) \cdot \left[ {\cos \left( {2\pi \cdot 10^3 t} \right) + 1.25} \right]$

下面给出了载波抑制的调幅波形和普通的调幅波形。

^{▲ 载波抑制调幅和普通调幅}

调幅波既然包括有上包络线和下包络线，可否在上下包络线上同时调制两个不同的信号，这样就可以实现同一调幅波同时传递两个信号了。

比如下面给出两个简单的低频信号的数学表达式及其波形。

$f_1 \left( t \right) = \cos \left( {2\pi \times 10^3 t} \right)$ $f_2 \left( t \right) = \cos \left( {2\pi \times 0.25 \times 10^3 t} \right)$

^{▲ 两种不同的调制信号}

将上面两个信号同时调制在高频载波的上包络线和下包络线上。这样可以通过后期的包络线检波，分别解调出两个信号。

那么下面存在两个问题：

1. 这个上下包络线的信号怎么形成的？
2. 它的频谱是什么？
   ^{▲ 两个信号分别调制在上下两个包络线上}

上面的双包络线调制的数学表达式如下面公示所示：

$f_{sub} \left( t \right) = f_1 \left( t \right) - f_2 \left( t \right)$ $f_{add} \left( t \right) = f_1 \left( t \right) + f_2 \left( t \right)$ $f_{AM} \left( t \right) = \left[ {f_{sub} \left( t \right) + 3} \right] \cdot \cos \left( {2\pi \times 30 \times 10^3 t} \right) + f_{add} \left( t \right)$

首先通过信号的相加和相加分别获得两个交流信号的叠加值和差值。然后将差值信号加上3，再与载波信号相乘。这样就形成了差值信号的普通调幅波形。然后在与两个信号的叠加信号相加，就形成了上面的双包络新调制的结果。

根据前面的分析，这种信号的频谱实际上包括有三个：

1. 两个信号叠加后的频谱，这是低频信号频谱；
2. 两个信号差值的高频频谱，搬移到载波频率附近；
3. 载波频谱；

^{▲ 上下包络线调制信号的频谱}

如果将上面信号中的载波信号频谱去掉，即对两个信号的差值进行载波抑制的幅度调制，然后叠加后的波形如下图所示：

$f_{AM} \left( t \right) = f_{sub} \cdot \cos \left( {2\pi \times 30 \times 10^3 t} \right) + f_{add} \left( t \right)$

^{▲ 两个信号分别调制交替调制在上下包络线线上}

可以看到此时，两个信号分别交替出现在载波信号的上包络线和下包络线上。这种调制方式实际上就是现在调频立体声广播中双声道音频信号的调制方式。

这种方式的好处就是，直接将接收到的立体声复合信号进行低通滤波（实际上，不需要进行低通滤波，扬声器本身就是一个很好的低通滤波器），就可以播放出双声道的叠加信号。如果进行立体声解调，则可以恢复出两个声道的信号，则通过一对扬声器播放立体声信号。

进行立体声解调时，需要获得载波信号。这是通过在信号中增加了一个导频信号来完成的。导频信号是载波信号频率的一半，将它叠加在上面立体声复合信号中。在接受的时候，通过一个窄带滤波器可以提取出该信号，经过倍频之后，便可以用于立体声的解调了。

下面绘制出叠加有导频信号的立体声复合信号。

$f_{AM} \left( t \right) = f_{sub} \cdot \cos \left( {2\pi \times 38 \times 10^3 t} \right)$ $+ f_{add} \left( t \right) + 0.1 \times \cos \left( {2\pi \times 19 \times 10^3 t} \right)$

^{▲ 带有导频信号的立体声信号波形}

关于立体声信号的合成系统框图如下图所示：

^{▲ 立体声信号合成框图}

下面是一段实际音乐中双声道的复合波形。其中叠加了导频信号。

^{▲ 一段实际信号立体声复合信号的波形}

使用MATLAB分析上述波形中10秒中的数据，所得到的频谱如下图所示。可以清楚的看到在立体声复合信号中所包括的信号频谱分量。

^{▲ 使用MATLAB分析立体声信号的频谱}

谁是当今时代中最可爱的人？就是那些奋战在抗疫前线的医生、护士们。将下面一颗上下包络线调制的爱心送给他们。

^{▲ 心型调制}

生成上述爱心调制信号的公式以及相应的PYTHON程序。
$f\left( x \right) = x^{{2 \over 3}} + 0.9\left( {3.3 - x^2 } \right)^{{1 \over 2}} \cdot \sin \left( {2\pi \times 10x} \right)$

t = linspace(-sqrt(3.3), sqrt(3.3), 1000)
fx = cbrt(t ** 2) - 0.9 * sqrt(3.3 - t**2) * sin(2*pi*t*20)
plt.plot(t, fx)
plt.grid(True)
plt.show()