Python 与 数学 【1】

Python 与 数学

• 最近 闲暇时间买了套卓里奇的《数学分析》在重温数学分析。之前 也通过 《流畅的 Python》 自学了 python。发现 python 里很多都可以用数学来理解。所以打算开个预期两年的坑，把数学分析用 python 去理解。

• 当然对于两方面 相对来说都是初学者，欢迎大家一起讨论学习。

• 代码块 为 python 代码， $\LaTeX$ 为 数学表达式

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通用的数学概念及记号

基本运算

中文	$\LaTeX$	$\LaTeX$代码	Python 代码	备注
非	$\neg$	\neg	!,not	! 对比两者值,not 对比两者内存(若为可变量有区别)
与	$\land$	\land	&,and	若做数值对比,& 表示位运算,and 含0，返回0； 均为非0时，返回后一个值
或	$\lor$	\lor	|,or	若做数值对比, | 表示位运算, or 至少有一个非0时，返回第一个非0
蕴含	$\Rightarrow$	\Rightarrow
等价	$\Leftrightarrow$	\Leftrightarrow	==
属于	$\in$	\in	in
存在	$\exists$	\exists
可以找到	$\forall$	\forall	for

# 小练习  
# 0 为真 1 为假 设定命题  
A = (0,1)
print(f'¬A\n| A | 0 | 1 |\n|¬A | {int(not A[0])} | {int(not A[1])} |\n')
B = (0,1)
print(f'A and B\n| A\B | 0 | 1 |\n|  0  | {int(A[0] and B[0])} | {int(A[0]and B[1])} |\n|  1  | {int(A[1]and B[0])} | {int(A[1]and B[1])} |')

¬A
| A | 0 | 1 |
|¬A | 1 | 0 |

A and B
| A\B | 0 | 1 |
|  0  | 0 | 0 |
|  1  | 0 | 1 |

C = {1,2,3,4}
print(f'C : {C}\n1 in C: {1 in C}')

C : {1, 2, 3, 4}
1 in C: True

集合

• 集合在 Python 中 应该是可以理解为 set。 ’由若干确定的、有充分区别的、具体或抽象合并而成的一个整体‘ —— 格奥尔格·康托尔 描述集合的概念。
• 在 Python 中 set 为无序的，有序的集合 为 tuple， 其中set 可变、 tuple 不可变
• set 集合 : set()、{A,B} $\{A, B\}$
• tuple 元组 : (A,B) $(A, B)$ 因其不可变 所以有序
• 按照定义 $(A,B) = (C,D)$ 表示 $A=C$ 且 $B=D$。 若 $A \neq B$ 则 $(A, B) \neq (B,A)$
  • 需要注意的是 (A, B) = (B,A) 并不是 $(A, B) = (B,A)$ 代码里的 = 为赋值
• 称 $\{A, B\}$ 为偶，若有序 为有序偶 $(A, B)$

# 无序
A = {0,1}
B = {1,0} 
print(f'set 无序\nA == B: {A == B}\nB == A: {B == A}')

set 无序
A == B: True
B == A: True

# 有序
A = (0,1)
B = (1,0) 
print(f'tuple 有序\nA == B: {A == B}\nB == A: {B == A}')

tuple 有序
A == B: False
B == A: False

笛卡尔积

• 直积、笛卡尔积 $X \times Y :=\{(x,y)\vert\ (x\in X)\land (y\in Y)\}$ 由属于X与Y的全部续偶组成。
• 这就是笛卡尔平面坐标系，全部由序偶 $(x,y)$ 组成

# 简单起见 设X、Y为三个元素  
X = {2,1,3}
Y = {3,1,2}
Descartes = {(x,y) for x in X
            for y in Y}
print('Descartes: ', Descartes)

Descartes:  {(1, 2), (3, 2), (1, 3), (3, 3), (3, 1), (2, 1), (2, 3), (2, 2), (1, 1)}	

• 一般而言 $X\times Y\neq Y\times X$ 仅当 $X = Y$ 时才成立， 这时 $X\times X$ 简写为 $X^2$

函数

• 函数 为 映射概念
• 设 $X, Y$ 为两个集合
• 如果 集合 $X$ 的每一个元素 $x$ 按照 某个规律 $f$ 与 集合 $Y$ 的元素 $y$ 相对应， 我们就说 有一个函数，它定义于 $X$ 并取值于 $Y$
• $X$ 为定义域， $x$ 为函数的 变元 或 自变量
• 而自变量 $x$ 的具体值 $x_0 \in X$ 相对应的 元素 $y_0\in Y$ 称为元素 $x_0$ 上的函数值，并表示为 $f(x_0)$， 一般而言 $y=f(x)\in Y$ 随 $x$ 的值变化而变化，因此称为因变量。

$f: X \to Y, X\overset{f}{\to} Y$

def f(x:str)->str:
    return 'y'+x[1:]

X = {'x_0','x_1','x_2'}
Y = {f(x) for x in X}
print('Y: ', Y)

Y:  {'y_0', 'y_1', 'y_2'}

# 若为有序  
X = ['x_0','x_1','x_2']
Y = [f(x) for x in X] # 因tuple 为不可变 这里使用 list
for i in range(len(X)):
    print(X[i],'→',Y[i])

x_0 → y_0
x_1 → y_1
x_2 → y_2

由于是我大晚上看书 心血来潮 所以今天就先写到这。。。