参考中国大学Mooc (浙江大学)->数据结构
我把陈越姥姥讲的最大子列和记录一下,以备不时之需.
"最大子列和" 问题
给一个数组,让求出其中所有子列数据的和的Max 值.
1.暴力求解
拿到这个问题的第一瞬间想到的几乎都是暴力,
遍历所有的子序列,找到其中最大值
//暴力求解 int MaxSubseqSum1(int A[], int n) { int ThisSum, MaxSum = 0; int i,j,k; //找出所有子列 for (i = 0; i < n; i++) { for (j = i; j < n; j++) { ThisSum = 0; for(k = i; k <= j; k++) { ThisSum += a[k]; }// 求子列和 if(ThisSum > MaxSum) { int t = ThisSum; ThisSum = MaxSum; MaxSum = t; } } } return MaxSum; }
优点:特别容易被人理解,特别简单
缺点:时间复杂度N的立方,太慢了
2.暴力的改进版本
仔细分析第一种方法,可以得到,最内层 的 k 循环,完全可以通过简单的变化消失掉.
即:建立在 j 循环基础,消除 k 循环
//对暴力的简单改进 int MaxSubseqSum1(int A[], int n) { int ThisSum, MaxSum = 0; int i,j,k; //找出所有子列 for (i = 0; i < n; i++) { ThisSum = 0; for (j = i; j < n; j++) {//此处使用累加,消除掉 k 循环 ThisSum += a[j]; if(ThisSum > MaxSum) { int t = ThisSum; ThisSum = MaxSum; MaxSum = t; } } } return MaxSum; }
时间复杂:N的平方
较第一种改进较大.
3. 二分
太过复杂,建议去大学Mooc 二分法链接 观看,此处只给出代码
int Max3( int A, int B, int C ) { /* 返回3个整数中的最大值 */ return A > B ? A > C ? A : C : B > C ? B : C; } int DivideAndConquer( int List[], int left, int right ) { /* 分治法求List[left]到List[right]的最大子列和 */ int MaxLeftSum, MaxRightSum; /* 存放左右子问题的解 */ int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; /*存放跨分界线的结果*/ int LeftBorderSum, RightBorderSum; int center, i; if( left == right ) { /* 递归的终止条件,子列只有1个数字 */ if( List[left] > 0 ) return List[left]; else return 0; } /* 下面是"分"的过程 */ center = ( left + right ) / 2; /* 找到中分点 */ /* 递归求得两边子列的最大和 */ MaxLeftSum = DivideAndConquer( List, left, center ); MaxRightSum = DivideAndConquer( List, center+1, right ); /* 下面求跨分界线的最大子列和 */ MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0; for( i=center; i>=left; i-- ) { /* 从中线向左扫描 */ LeftBorderSum += List[i]; if( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum ) MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum; } /* 左边扫描结束 */ MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0; for( i=center+1; i<=right; i++ ) { /* 从中线向右扫描 */ RightBorderSum += List[i]; if( RightBorderSum > MaxRightBorderSum ) MaxRightBorderSum = RightBorderSum; } /* 右边扫描结束 */ /* 下面返回"治"的结果 */ return Max3( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum ); } int MaxSubseqSum3( int List[], int N ) { /* 保持与前2种算法相同的函数接口 */ return DivideAndConquer( List, 0, N-1 ); }
时间复杂度:N*log(N)
但是理论较难,代码晦涩.
4.在线处理
一个牛逼的算法
从前到后进行一次遍历,找到其中最大值,但是只要某一段子列和为0,即抛弃此时的ThisSum,重新置为0
//在线处理法 int MaxSubseqSum4(int A[], int n) { int ThisSum = 0, MaxSum = 0; int i; for(i = 0; i<n; i++) { ThisSum += a[i]; if(ThisSum >MaxSum) { MaxSum= ThisSum; } else if(ThisSum <0){ ThisSum = 0; } } return MaxSum; }
时间: N
缺点: 总有人怀疑其正确性(讲真,我还觉得这个算法有问题...)