浮点数在计算机中的存储方式详解

常见的浮点数：

3.14159
1E10

浮点型在内存中的存储

浮点数家族包括： float、double、long double 类型。
浮点数表示的范围：float.h中定义

浮点数存储的例子：

int main()
{
intn = 9;
float*pFloat = (float*)&n;
printf("n的值为：%d\n",n);
printf("*pFloat的值为：%f\n",*pFloat);
*pFloat = 9.0;
printf("num的值为：%d\n",n);
printf("*pFloat的值为：%f\n",*pFloat);
return 0;
}

输出的结果是什么呢？

num和*pFloat在内存中明明是同一个数，为什么浮点数和整数的解读结果会差别这么大？

要理解这个结果，一定要搞懂浮点数在计算机内部的表示方法。

详细解读：
1.
根据国际标准IEEE（电气和电子工程协会）754，任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：
V=(-1)^S * M * 2^E

(-1)^s表示符号位，s为0表示正，s为1表示负
M表示有效数字，大于等于1，小于2
2^E表示指数位

举例来说：
十进制的5.0，写成二进制是 101.0 ，相当于 1.01×2^2。
那么，按照上面V的格式，可以得出s=0，M=1.01，E=2。
十进制的-5.0，写成二进制是 -101.0 ，相当于 -1.01×2^2 。那么，s=1，M=1.01，E=2。

IEEE 754规定：
对于32位的浮点数，最高的1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M。

对于64位的浮点数，最高的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。

2.
IEEE 754对有效数字M和指数E，还有一些特别规定。
前面说过，1≤M<2，也就是说，M可以写成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表示小数部分。
IEEE 754规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的第1位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。例如保存1.01的时候，只保存01，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样做的目的，是节省1位有效数字。以32位浮点数为例，留给M只有23位，将第一位的1舍去以后，等于可以保存24位有效数字。

对于指数E，情况就比较复杂。
首先，E为一个无符号整数（unsigned int）
这意味着，如果E为8位，它的取值范围为0-255；如果E为11位，它的取值范围为0~2047。但是，我们知道，科学计数法中的E是可以出现负数的，所以IEEE 754规定，存入内存时E的真实值必须再加上一个中间数 ，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。
例如，2^10的E是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存成10+127=137，即10001001。

然后，指数E还可以再分成三种情况：
（1）E不全为0或不全为1
这时，浮点数就采用下面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023），得到真实
值，再将有效数字M前加上第一位的1。

例如：178.125

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[1]
先把浮点数分别把整数部分和小数部分转换成2进制：

整数部分用除2取余的方法：

求得：10110010
小数部分用乘2取整的方法

求得：001
合起来即是：10110010.001
转换成二进制的浮点数，即把小数点移动到整数位只有1，即为：（-1）^0*1.0110010001* 2^7

[2]
把浮点数转换二进制后，这里基本已经可以得出对应3部分的值了：

符号位：由于浮点数是整数，故为0.
指数: 指数为7，二进制为111，对于单精度的浮点数，偏移值为01111111(127)，即：111+011111111 = 10000110
有效数值：小数点后面的数，即0110010001
最终根据位置填到对位的位置上：
最终的二进制表示为：01000011001100100010000000000000（有效数值不够23位补0）

（2）E全为0
这时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023）即为真实值，有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。

（3）E全为1
这时，如果有效数字M全为0，表示±无穷大（正负取决于符号位s）；

4.
好了，关于浮点数的表示规则，就说到这。
下面，让我们回到最开始的问题：为什么0x00000009还原成浮点数，就成了0.000000？
首先，将0x00000009拆分，得到第一位符号位s=0，后面8位的指数E=00000000，最后23位的
有效数字M=000 0000 0000 0000 0000 1001。
//9 -> 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001
由于指数E全为0，所以符合上一节的第2种情况。因此，浮点数V就写成：

V=(-1)^0 * 0.00000000000000000001001 *2^(-126)
=1.001×2^-146
显然，V是一个很小的接近于0的正数，所以用十进制小数表示就是0.000000。

5.
再看例题的第二部分。
请问浮点数9.0，如何用二进制表示？还原成十进制又是多少？
首先，浮点数9.0等于二进制的1001.0，即1.001×2^3。
//9.0 -> 1001.0 ->(-1)^0 * 1.001 * 2^3
-> s=0, M=1.001,E=3+127=130
那么，第⼀位的符号位s=0，有效数字M等于001后面再加20个0，凑满23位，指数E等于
3+127=130，即10000010。
所以，写成二进制形式，应该是s+E+M，即
0 10000010 001 0000 0000 0000 0000 0000
这个32位的二进制数，还原成十进制，正是1091567616。