数电2_2——逻辑函数的变换与化简

1. 逻辑函数的形式变换

除了标准得与或式和或与式之外，还需要将逻辑函数转换为其他形式。
（虽然这样子会写，但是不知道题目会不会，需要练一练，而且没看到本质）

1.1 与或式 转换成 与非-与非式。

方法技巧：用二次求反，引入反演律

例子：将 $y=AC+BC'$用与非门实现：
$y=AC+BC'=((AC+BC')')'=((AC)'(BC')')'$

备注：因为没有反变量输入，所以借助非门

1.2 与或式 转换成 与或非式

方法技巧：采用反演定律求出反函数，再整理成与或式，在对两边同时取非

例子：将 $y=AC+BC'$用与或非门实现：
$y'=(A'+C')(B'+C)=A'B'+B'C'+A'C$
利用常用公式2的第一个可以删去第一项
$y'=(A'+C')(B'+C)=B'C'+A'C$
$y=(B'C'+A'C)'$

1.2 与或式 转换成 或非式

方法技巧：

1. 先将函数Y化为与或非形式，再用反演定理求Y’ ，并用摩根定理展开，再求Y，就可得到或非－或非式
   反演定理，可以将 与或 变成 或与
   反演律：可以实现 与 或 两者的互换
   例子：将 $y=AC+BC'$用或非门实现：
   $y'=(A'+C')(B'+C)=A'B'+B'C'+A'C$
   利用常用公式2的第一个可以删去第一项
   $y'=(A'+C')(B'+C)=B'C'+A'C$
   $y=(B'C'+A'C)'$
2. 先写出最大项之积的形式，再两次取反，利用反演定律得到或非式
   

2. 逻辑函数的化简方法

1. 化简的好处：实现的电路简单可靠，成本低（虽然随着集成电路的发展，集成芯片的种类越爱越多，逻辑函数的最贱已经没有太大的意义，但作为设计思路，特别是中小规模的集成电路，逻辑函数的简化不能忽略）
2. 需要考虑电路器件的种类，常用的门有与非门，或非门，与或非门。所以常常化简成最简与或式和最简或与式

2.1. 公式法化简

2.1.1 最简与或式

定义：所含的与项最少，每个与项的逻辑变量最少
与或式的化简方法：

1. 合并项法：利用 $AB+A'B=B$消去一个变量
2. 消除法：利用 $A+A'B=A+B$消去多余变量
3. 配项法：利用 $A+A'=1$增加一些项，再进行化简

2.1.2 最简或与式

定义：所含的和项最少，每个和项的逻辑变量最少
与或式的化简方法：

1. 利用 $A(A+B)=A以及A(A'+B)=AB$
2. 利用两次求对偶式子进行简化

公式法太考验技巧了，所以不细讲，我们把重点放在了卡诺图

2.2. 卡诺图法

2.2.1 定义与优点

• 定义：把真值表中的变量分成两组分别排列在行和列的方格中，就构成二维图表，即为卡诺图，由卡诺（Karnaugh）和范奇（Veich）提出
• 构成：将最小项按相邻性排列成矩阵，就构成卡诺图，实质是将逻辑函数的最小项之和以图形的方式表示出来。最小项相邻性就是它们中变量只有一个是不同的
• 优点：直观，方便简化

2.2.2 步骤方法

1. 画出卡诺图
2. 圈一化简

2.2.2.1 画出卡诺图

1. 看有几个变量，将变量分成尽可能数量接近的两组（个人理解是比较接近于方形，后面圈一看起来方便）
2. 分别写出横排和竖排的序号（为了保证相邻的两个式子只有一个变量不同，所以利用格雷码的原则写出）

看两个例子：

3. 填一
可以直接惯出逻辑函数或是根据真值表，把对应的1填入，觉得没必要化成最小项和的形式

2.2.2.2 化成与或式——圈一化简

规则：

1. 圈住相邻的2n个1
2. 可以重复圈，但每圈一次必须包含没有圈过的，所有的1都必须圈住
3. 圈住的1必须尽可能多，而且必须相邻（相邻的定义包括最左最右相邻，最上最下相邻）
4. $2^n$个相邻元素可以消去 $n$个变量，那些既有0又有1的变量可以消去
   5.每一块写成与或式， “1”写原变量，“0”写反变量

技巧：当1比较多的时候，有时通过合并卡诺图的“0”项得到反函数，再取反

例子

用卡诺图将 $Y=ABC+ABD+AC'D+C'D'+AB'C+A'CD'$最简与或式
方法一——圈“1”
画出卡诺图如下：

$Y=A+D'$
方法二——圈“0”取反

求 $Y' = A'D$
反演定理得 $Y=A+D'$

2.2.2.3 化成或与式——圈零化简

规则：

1. 圈住相邻的2n个0
2. 可以重复圈，但每圈一次必须包含没有圈过的，所有的0都必须圈住
3. 圈住的0必须尽可能多，而且必须相邻（相邻的定义包括最左最右相邻，最上最下相邻）
4. $2^n$个相邻元素可以消去 $n$个变量，那些既有0又有1的变量可以消去
5. 每一块写成或与式，取0的写原变量，取1的写反变量

例子

用卡诺图将 $Y=ABC+ABD+AC'D+C'D'+AB'C+A'CD'$化成最贱或与式

方法一——圈“0”取反
$Y=(A+B+C')(A+B+D)(A'+B'+C)(A'+D')$
方法二——圈“1”取反

3. 具有无关项的逻辑函数机器化简

3.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项

1. 约束项：输入变量的取值不是任意的，受到限制，被约束的项叫做约束项。
   
2. 任意项 ：输入变量的某些取值对电路的结果没有影响，这些项称为任意项
   
3. 无关项：约束项和任意项统称为无关项

这些最小项是否写进卡诺图对逻辑函数没有影响

3.2 应用

在卡诺图中，将无关项用X表示，然后根据需要去0或1

4. 卡诺图的其他应用

4.1 判断函数关系和进行函数运算

1. 判断关系：卡诺图相同则函数相同，01对调则函数互补
2. 函数运算：直接利用卡诺图进行运算
   
   
   

4.2 逻辑函数表达式类型的转换

1. 与或和或与前文已经给出
2. 与或式 转 与或非式：画出卡诺图，圈零写出反函数的与或式，然后取反就是与或非
   
3. 与或式 转 或非：写出卡诺图，圈零写出或与式，两次取反，利用摩根定律得到或非式