数字电路的作用是用来表达一个现实的逻辑命题，实现逻辑功能。但是，从
逻辑功能中简单概括得出的逻辑函数，往往不是最简表达式，根据这样的非最简式来实现电路，系统会过于复杂，成本过高，同时，电路运行的安全性和可靠性也无法得到保障。

为了降低系统成本，提高工作可靠性，应在不改变逻辑功能的基础上，化简
逻辑表达式，降低其规模，并进行相应变形，用更合理的函数式表达逻辑命题，以期用最少、最合理的门电路器件实现逻辑功能。

逻辑函数的化简原则:

逻辑电路所用的门最少
每个门的输入端要少
逻辑电路所用的级数要少
逻辑电路能可靠地工作

逻辑函数的化简:

公式化简法

与或逻辑函数的公式法化简
5类逻辑函数之间的转换

卡诺图化简法

卡诺图的由来和原理
与或逻辑函数的卡诺图法化简
5类逻辑函数的卡诺图法化简
具有约束关系的逻辑函数

逻辑函数的表示工具:

真值表
逻辑表达式
卡诺图
逻辑电路图
波形图

公式化简法

与或逻辑函数的公式法化简

在这里插入图片描述公式化化简思路:

有直接利用化简公式的结构,就直接化简
若没有,就改变表达式结构,创造环境去化简(拆项、提取公因子)

特殊技巧:

反用多余项定律
加0因子

另外,化简结果可能不唯一,但最后结果的长度都是一样的

5类逻辑函数之间的转换

在这里插入图片描述
方法结构图如下所示:

卡诺图化简法

卡诺图的由来和原理

对于一个给定了变量数目的逻辑函数,所有变量都参加相“与”的与项称为最小项,下面的ABC、AB $\overline{\text{C}}$ 、 $\overline{\text{A}}$ BC、 $\overline{\text{AB}}$ C都是最小项:

F = f(A,B,C) = AB + $\overline{\text{A}}$ C = AB(C+ $\overline{\text{C}}$ ) + $\overline{\text{A}}$ C(B+ $\overline{\text{B}}$ )
= ABC + AB $\overline{\text{C}}$ + $\overline{\text{A}}$ BC + $\overline{\text{AB}}$ C

最简与或表达式拆项后得到的表达式的每个与项中，三输入变量均以原变量或者反变量形式，出现且仅出现一次。所以说，这 4 个与项都是该逻辑函数的最小项。

最小项的特点：
每个与项均包含了该逻辑函数的所有变量，且每个变量只能
以原变量或反变量形式出现且仅出现一次。

由此可知：

1 变量逻辑函数有 2 个最小项：
A、 $\overline{\text{A}}$
2 变量逻辑函数有 4 个最小项：
AB、 $\overline{\text{A}}$ B、A $\overline{\text{B}}$ 、 $\overline{\text{AB}}$
3 变量逻辑函数有 8 个最小项：
ABC、 $\overline{\text{A}}$ BC、A $\overline{\text{B}}$ C、AB $\overline{\text{C}}$ 、 $\overline{\text{AB}}$ C、A $\overline{\text{BC}}$ 、 $\overline{\text{A}}$ B $\overline{\text{C}}$ 、 $\overline{\text{ABC}}$

n变量逻辑函数共有2”个最小项

所谓“标准与或式”，就是用最小项相加，得到的与或表达式，也称为最
小项标准式、“最小项之和”形式

一个具体逻辑函数的标准与或式中，到底存在哪个最小项，要看表达
式的具体情况

标准与或式和真值表的联系

逻辑函数F = AB + $\overline{\text{A}}$ C的真值表:
在这里插入图片描述
由真值表可知，该逻辑函数共有 4 种输入组合，能使输出成立：
001、011、110、111

该逻辑函数的最简与或式和标准与或式分别为：

F = AB + $\overline{\text{A}}$ C
= ABC + AB $\overline{\text{C}}$ + $\overline{\text{A}}$ BC + $\overline{\text{AB}}$ C

F 的标准与或式由 4 个最小项组成，用 0 表示反变量，1 表示原变量，则能使输出成立的 4 种输入组合，恰好和 4 个最小项一一对应。也就是说，一个最小项就对应着真值表上的一行，对应着一组确定的输入条件组合。

真值表上，有 4 种输入组合能使输出为 1，就将这 4 种输入组合所对应的 4
个最小项相或，从而得到逻辑函数的标准与或式。由此可知，逻辑函数的真值表和标准与或式是严格对应的，都准确地表达了一个逻辑命题的功能，这就是最小项、标准与或式的逻辑含义。

综上所述：

标准与或式具有唯一性，和该逻辑函数的真值表严格对应，代表了逻辑函数的功能；
一般式则具有多样性，代表了实现逻辑函数的电形式的多样性。

最小项的基本性质

在这里插入图片描述

在输入的任一种取值下,有且仅有一个最小项的值为1
一个逻辑函数的任意两个最小项之积必为0
一个逻辑函数的全体最小项之和必为1

最小项的编号

在这里插入图片描述

卡诺图的结构规则

卡诺图上的一个方格就对应着逻辑函数的一个最小项
在这里插入图片描述

同一个逻辑函数,真值表的输出部分有几个1 ,卡诺图方格内就要填几个1 ,都表示了有几个输入组合能够使输出成立;
逻辑函数的输入变量个数确定了真值表的结构、卡诺图的结构。

卡诺图的化简原理

拿四输入卡诺图举例:
在这里插入图片描述

注意列写顺序: 00,01,11,10

$\overline{\text{A}}$ B $\overline{\text{C}}$ D = m5

在一个最小项标准中,所有跟这一与项逻辑相邻的,只有四种可能:

$\overline{\text{ABC}}$ D = m1
$\overline{\text{A}}$ B $\overline{\text{CD}}$ = m4
$\overline{\text{A}}$ BCD = m7
AB $\overline{\text{C}}$ D = m13

逻辑相邻的意思,就意味着四输入变量中,两个与项相对应,只有一个变量,原变量、反变量不同,剩余三个变量是相同的

如果将以上五项标在图上:
在这里插入图片描述
类似的:
$\overline{\text{AB}}$ C $\overline{\text{D}}$ = m2

跟这一与项逻辑相邻的:

$\overline{\text{ABCD}}$ = m0
$\overline{\text{AB}}$ CD = m3
$\overline{\text{A}}$ BC $\overline{\text{D}}$ = m6
A $\overline{\text{B}}$ C $\overline{\text{D}}$ = m10

在这里插入图片描述
m0与m2是相邻的,所以整个卡诺图是左右相通的,就想个滚筒一样:
而一个五输入的卡诺图却是左右对称的:

跟某一项逻辑相邻的,有5种可能:

卡诺图能帮助我们更好地寻找逻辑相邻关系,但是到了五输入时,这一规则被打破了。也就是说,五变量以上的卡诺图就没有太多的使用意义

与或逻辑函数的卡诺图法化简

最小项合并规则

在卡诺图中,凡是相邻的最小项,它们在逻辑上也是相邻的,逻辑相邻,就是指二个最小项中除一个变量的形式不同为互反变量外,其它都是相同的,因此它们可以合并成一个与项,消去其中互反变量

两个相邻项的合并

在这里插入图片描述
首先先把相邻项圈起来,这个圈叫卡诺圈:

每一个卡诺圈表示可以进行一次吸收定理1:
二个最小项合并,消去一个互反变量,保留公共变量(两项变一项,谁变干掉谁)

对于上面的两个圈:

A $\overline{\text{BC}}$ + A $\overline{\text{B}}$ C = A $\overline{\text{B}}$
$\overline{\text{A}}$ B $\overline{\text{C}}$ + AB $\overline{\text{C}}$ = B $\overline{\text{C}}$

再来看看下面这张卡诺图:

在这里插入图片描述画出卡诺圈:

对这三个圈进行化简:

$\overline{\text{A}}$ B $\overline{\text{C}}$ D + AB $\overline{\text{C}}$ D = B $\overline{\text{C}}$ D
$\overline{\text{AB}}$ CD + A $\overline{\text{B}}$ CD = $\overline{\text{B}}$ CD
$\overline{\text{A}}$ B $\overline{\text{CD}}$ + $\overline{\text{A}}$ BC $\overline{\text{D}}$ = $\overline{\text{A}}$ B $\overline{\text{D}}$

四个相邻项的合并

刚刚的两个相邻项可以消去1个变量,这里的四个相邻项可以消去2个变量

在这里插入图片描述

八个相邻项的合并

有了上面的基础,这里应该就可以知道,八个相邻项可以消3个变量

在这里插入图片描述
换句话说就是: 谁不变,就把谁留下

奇葩相邻项

看一下这两个圈:
在这里插入图片描述
注意!这样画圈是无法化简的!!!

应该转换成2个两项圈和2个四项圈:
在这里插入图片描述
总结:

2”个相邻最小项组成的卡诺圈合并,可以消去n个变量
不存在包含非2"个最小项的卡诺圈
看坐标化简,多项变一项,保留不变的,消去变化的。

在这里插入图片描述

用卡诺图表达待化简的逻辑函数

步骤:

根据表达式中输入变量个数, 画出卡诺图的结构
表达式中包含什么样的最小项,在卡诺图对应的方格上填1 ,其余的填0或者不填,就得到了完整的卡诺图

三种典型情况:

与或表达式
标准与或式(最小项标准式、最小项之和)
其他任何一般表达式

与或表达式

[例] F = $\overline{\text{A}}$ B $\overline{\text{D}}$ + AC

确定为四输入卡诺图:
在这里插入图片描述
坐标1表示原变量、0表示反变量，按坐标规定,将与或式中的各个与项逐一填入卡诺图

先看第一项 $\overline{\text{A}}$ B $\overline{\text{D}}$ ,拆项后即 $\overline{\text{A}}$ B $\overline{\text{D}}$ (C+ $\overline{\text{C}}$ ):
在这里插入图片描述
再来看看第二项AC经过拆项后AC(B+ $\overline{\text{B}}$ )(D+ $\overline{\text{D}}$ ):