51Nod1220：约数之和
题意：
\(d(k)\)表示\(k\)所有约数的和。
比如说\(d(6)=1+2+3+6=12\)。
定义：\(S(N)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Nd(i*j)\)。
给出\(N\leq 10^9\)，求\(S(N)\)。
思路：
我们知道：\(\sigma(n)\)表示约数个数和，且为积性函数。
我们需要求\(\sigma(ij)\)，但是\(\sigma\)不是完全积性函数。
这里有个结论：
\[\sigma(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]\frac{yi}{x} \]
代入原式：
\[\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]\frac{yi}{x} \]
反演：
\[\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\sum_{x|i}\sum_{y|j}\frac{yi}{x}\sum_{d|gcd(x,y)}\mu(d)\\\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\sum_{x|i}\sum_{y|j}\frac{yi}{x}\sum_{d|x,d|y}\mu(d) \]
改变枚举项为\(xd,yd\)，接着修改为\(id,jd\)：
\[\sum_{d=1}^N\mu(d)\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\sum_{xd|i}\sum_{yd|j}\frac{yi}{x}\\\sum_{d=1}^Nd\mu(d)\sum_{i=1}^\frac{N}{d}\sum_{j=1}^\frac{N}{d}\sum_{x|i}\sum_{y|i}\frac{yi}{x} \]
分配一下：
\[\sum_{d=1}^Nd\mu(d)(\sum_{i=1}^\frac{N}{d}\sum_{x|i}\frac{i}{x})(\sum_{j=1}^\frac{N}{d}\sum_{y|i}y) \]
那这后面不就是约数的平方嘛。
\[\sum_{d=1}^Nd\mu(d)\sum_{i=1}^\frac{N}{d}\sigma^2(i) \]
显然后面可以数论分块一下，前面可以杜教筛一下。
先看看怎么样怎样杜教筛这个式子：
设\(f=\mu id,g=id\)，那么有：
\[(f*g)(n)=\sum_{d|n}(\mu(d)d)\frac{n}{d}=n\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1] \]
又有：
\[g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(f*g)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac{n}{i}) \]
可以得到：
\[S(n)=1-\sum_{i=2}^niS(\frac{n}{i}) \]
之后要求这个：
\[\sum_{i=1}^n\sigma(i) \]
怎么计算呢？
需要有点逆向思维，枚举约数不好弄就枚举倍数，所以有：
\[\sum_{i=1}^n\sigma(i)=\sum_{i=1}^ni\frac{n}{i} \]
此时理清楚就可以写代码了。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9+7;
const int maxn = 3e6;
const int inv2 = 500000004;
bool vis[maxn+10];
ll mu[maxn+10];
int primes[maxn+10], cnt;
void init(int n)
{
mu[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++)
{
if(!vis[i])
{
primes[++cnt] = i;
mu[i] = -1;
}
for(int j = 1; primes[j] <= n/i; j++)
{
vis[primes[j]*i] = 1;
if(i % primes[j] == 0) break;
else mu[i*primes[j]] = -mu[i];
}
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
mu[i] = i*mu[i]%mod;
mu[i] = (mu[i]+mu[i-1])%mod;
}
}
unordered_map<ll, ll> Smu;
ll getSmu(ll n)
{
if(n <= maxn) return mu[n];
if(Smu[n]) return Smu[n];
ll res = 1;
for(ll l = 2, r; l <= n; l = r+1)
{
r = n/(n/l);
res -= (r-l+1)%mod*(r+l)%mod*inv2%mod*getSmu(n/l)%mod;
res = ((res%mod)+mod)%mod;
}
return Smu[n] = res;
}
ll n;
unordered_map<ll, ll> G;
ll getG(ll n)
{
if(G[n]) return G[n];
ll res = 0;
for(ll l = 1, r; l <= n; l = r+1)
{
r = n/(n/l);
res = (res + (r-l+1)%mod*(r+l)%mod*inv2%mod*(n/l)%mod)%mod;
}
return G[n] = res;
}
int main()
{
init(maxn);
cin >> n;
ll res = 0;
for(ll l = 1, r; l <= n; l = r+1)
{
r = n/(n/l);
res = (res + ((getSmu(r)-getSmu(l-1))%mod+mod)%mod*getG(n/l)%mod*getG(n/l)%mod)%mod;
}
res = ((res%mod)+mod)%mod;
cout << res << endl;
return 0;
}