51Nod1220 约数之和【杜教筛】

题目描述：

求 $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sigma_1(i*j)$
$n\le10^9，mod ~10^9+7$

题目分析：

有个结论： $\sigma_k(i*j)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(x,y)==1]~x^k*j^k/y^k$
记 $\sigma_k(n)$ 为 $n$ 的约数的 $k$ 次幂之和，质因数分解 $n$ ， $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_t^{a_t}$
$\sigma_k(n)=(1+p_1^{1k}+p_1^{2k}+\dots+p_1^{a_1k})\\~~~~~~~~~~~*(1+p_2^{1k}+p_2^{2k}+\dots+p_2^{a_2k})\\~~~~~~~~~~~~\dots\\~~~~~~~~~~*(1+p_t^{1k}+p_t^{2k}+\dots+p_t^{a_tk})$
考虑一个质因子 $p$ ，它对 $\sigma_k(n)$ 的贡献为 $1+p^k+p^{2k}+...+p^{ak}$
那么看 $\sigma_k(i*j)$ ，考虑它们的公共质因子 $p$ ，在i中有a次，在j中有b次，造成的贡献就可以表示为 $\sum_{x=0}^a\sum_{y=0}^b[(p^x,p^y)==1]~p^{xk}*p^{bk}/p^{yk}$
根据乘法原理，有 $\sigma_k(i*j)=\sum_{x_1=0}^{a_1}\sum_{y_1=0}^{b_1}[(p^{x_1},p^{y_1})==1]~p^{x_1k}*p^{b_1k}/p^{y_1k}\\~~~~~~~~~~~~~~~* \sum_{x_2=0}^{a_2}\sum_{y_2=0}^{b_2}[(p^{x_2},p^{y_2})==1]~p^{x_2k}*p^{b_2k}/p^{y_2k}\\\dots\\ ~~~~~~~~~~~~~~~*\sum_{x_t=0}^{a_t}\sum_{y_t=0}^{b_t}[(p^{x_t},p^{y_t})==1]~p^{x_tk}*p^{b_tk}/p^{y_tk}$
只有当所有 $(p^x,p^y)==1$ 都满足时才会对答案造成贡献，所以可变形为：
$\sigma_k(i*j)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(x,y)==1]~x^k*j^k/y^k$

ok,正文开始

$\large\begin{aligned} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sigma_1(i*j)\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(x,y)==1]~x*j/y\\ &=\sum_{k=1}^n\mu(k)\sum_{x=1}^{\frac nk}\lfloor\frac n{kx}\rfloor\sum_{y=1}^{\frac nk}\sum_{j=1}^{\frac n{ky}}xk*kyj/ky\\ &=\sum_{k=1}^n\mu(k)k\sum_{x=1}^{\frac nk}\lfloor\frac n{kx}\rfloor x\sum_{j=1}^{\frac nk}j\lfloor\frac n{kj}\rfloor\\ &=\sum_{k=1}^n\mu(k)k\left(\sum_{x=1}^{\frac nk}\lfloor\frac n{kx}\rfloor x\right)^2\\ &=\sum_{k=1}^n\mu(k)k\left(\sum_{i=1}^{\frac nk}\sigma_1(i)\right)^2 \end{aligned}$

线性筛 $10^6$ ， $\mu(k)k$ 标准的杜教筛， $\sigma_1(n)的前缀和可以\sqrt n$ 分块暴算
时间复杂度 $O(n^{\frac 23})$

其实有种更简单清晰的推法，第一步先不要把x,y提到最前面
$\begin{aligned} &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(x,y)==1]~x*j/y\\ &=\sum_{k=1}^n\mu(k)\sum_{i=1}^{\frac nk}\sum_{j=1}^{\frac nk}\sum_{x|i}\sum_{y|i}xk*jk/yk\\ &=\sum_{k=1}^n\mu(k)k\sum_{i=1}^{\frac nk}\sum_{j=1}^{\frac nk}\sum_{x|i}x\sum_{y|j}{\frac jy}\\ &=\sum_{k=1}^n\mu(k)k\sum_{i=1}^{\frac nk}\sum_{j=1}^{\frac nk}\sigma_1(i)*\sigma_1(j)\\ &=\sum_{k=1}^n\mu(k)k\left(\sum_{i=1}^{\frac nk}\sigma_1(i)\right)^2 \end{aligned}$

#include<cstdio>
#include<map>
using namespace std;
const int N = 1000000, mod = 1e9+7, inv2 = 5e8+4;
int p[N/10],sm[N+5],sd[N+5],mp[N+5];
bool v[N+5];
map<int,int>F;
void Prime()
{
	sm[1]=sd[1]=1;int cnt=0;
	for(int i=2;i<=N;i++)
	{
		if(!v[i]) p[++cnt]=i,sm[i]=-i,sd[i]=mp[i]=i+1;
		for(int j=1,k;j<=cnt&&(k=p[j]*i)<=N;j++)
		{
			v[k]=1;
			if(i%p[j]==0) {sm[k]=0,mp[k]=mp[i]*p[j]+1,sd[k]=sd[i]/mp[i]*mp[k];break;}
			sm[k]=sm[i]*sm[p[j]];
			sd[k]=sd[i]*sd[p[j]];
			mp[k]=p[j]+1;
		}
	}
	for(int i=1;i<=N;i++) sm[i]=(sm[i]+sm[i-1])%mod,sd[i]=(sd[i]+sd[i-1])%mod;
}
int Summu(int n)
{
	if(n<=N) return sm[n];
	if(F.count(n)) return F[n];
	int ret=1;
	for(int i=2,j;i<=n;i=j+1)
	{
		j=n/(n/i);
		ret=(ret-1ll*(i+j)*(j-i+1)%mod*inv2%mod*Summu(n/i))%mod;
	}
	return F[n]=ret;
}
int calc(int n)
{
	if(n<=N) return sd[n];
	int ret=0;
	for(int i=1,j;i<=n;i=j+1)
	{
		j=n/(n/i);
		ret=(ret-1ll*(i+j)*(j-i+1)%mod*inv2%mod*(n/i))%mod;
	}
	return ret;
}
int main()
{
	Prime();
	int n,ans=0;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1,j,tmp,pre=0,tt;i<=n;i=j+1)
	{
		j=n/(n/i);
		ans=(ans+1ll*((tmp=Summu(j))-pre)*(tt=calc(n/i))%mod*tt)%mod;
		pre=tmp;
	}
	printf("%d",(ans+mod)%mod);
}