题目链接:http://acm.zzuli.edu.cn/problem.php?id=2276
题目描述
今天跳跳去公园游玩,第一个游戏就难倒了跳跳,游戏规则是跳跳站在一个面积无限大的矩形土地上,开始时跳跳在左上角(即第一行第一列),每一次跳跳都可以选择一个右下方格子,并瞬间跳过去(如从下图中的红色格子能直接跳到蓝色格子),求跳到第n行第m列的格子有多少种方案,答案对1000000007取模。
输入
单组测试数据。
两个整数n,m(2<=n,m<=100000)
输出
一个整数表示方案数。
样例输入
4 5
样例输出
10
这题确实很皮! 大佬勿喷!
思路一:
一开始我是进行了,手推,发现了规律,但是并没有往杨辉三角上想。
打表可以发现这个方法数是一个杨辉三角。
根据杨辉三角的性质,可以知道杨辉三角里面第n行,第m列的数值为C(n-1,m-1)。
然后就是对应关系了。(可能本人比较菜,推了好半天)
第i行第j个对应杨辉三角第i+j-1行第i个
本题则是求组合数C(n + m - 4, n - 2)或 C(n + m - 4, m - 2)。
AC ONE
用逆元、费马小定理来求组合数。
//带有预处理
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
const ll maxn = 1e6 + 3;
ll fac[maxn], inv[maxn];
ll quickpow(ll x, ll n)
{
ll ret = 1;
ll tmp = x % mod;
while(n)
{
if(n & 1)
{
ret = (ret * tmp) % mod;
}
tmp = tmp * tmp % mod;
n >>= 1;
}
return ret;
}
void init()
{
fac[0] = 1;
for(int i = 1; i < maxn; i++)
{
fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
}
inv[maxn - 1] = quickpow(fac[maxn - 1], mod - 2);
for(int i = maxn - 2; i >= 0; i--)
{
inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
}
}
ll C(ll a,ll b)
{
if(b > a)
return 0;
if(b == 0)
return 1;
return fac[a] % mod * inv[b] % mod * inv[a - b] % mod;
}
int main()
{
init();
ll n, m;
scanf("%lld%lld", &n, &m);
printf("%lld\n", C(n + m - 4, n - 2));
return 0;
}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn=1000005, mod=1e9 + 7;
ll fac[maxn];
void init()
{
fac[0] = fac[1] = 1;
for(ll i = 2; i < maxn; i++)
fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
}
ll quickpow(ll a, ll b)
{
ll ans = 1;
while(b)
{
if(b & 1) ans = ans * a % mod;
a = a * a % mod;
b >>= 1;
}
return ans;
}
ll C(ll a, ll b)
{
return fac[a] * quickpow(fac[b], mod - 2) % mod * quickpow(fac[a - b], mod - 2) % mod;
}
int main()
{
init();
ll n, m;
scanf("%lld%lld", &n, &m);
printf("%lld\n", C(n + m - 4, n - 2));
return 0;
}
AC TWO
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
ll quickpow(ll x, ll n)
{
ll ret = 1;
ll tmp = x % mod;
while(n)
{
if(n & 1)
{
ret = (ret * tmp) % mod;
}
tmp = tmp * tmp % mod;
n >>= 1;
}
return ret;
}
ll C(ll a,ll b)
{
if(b > a)
return 0;
ll ans = 1;
for(int i = 1; i <= b; i++)
{
ll n = (a + i - b) % mod;
ll m = i % mod;
ans = ans * (n * quickpow(m, mod - 2) % mod) % mod;
}
return ans;
}
ll lucas(ll a, ll b)
{
if(b == 0) return 1;
return C(a % mod, b % mod) * lucas(a / mod, b / mod) % mod;
}
int main()
{
ll n, m;
scanf("%lld%lld", &n, &m);
printf("%lld\n", lucas(n + m - 4, n - 2));
return 0;
}