19 二叉树基础（上）：什么样的二叉树适合用数组来存储？
1. 树的基本概念
节点：树中的每个元素称为节点
父子关系：相邻两节点的连线，称为父子关系
根节点：没有父节点的节点
叶子节点：没有子节点的节点
父节点：指向子节点的节点
子节点：被父节点指向的节点
兄弟节点：具有相同父节点的多个节点称为兄弟节点关系
节点的高度：节点到叶子节点的最长路径所包含的边数，即从下往上数。
节点的深度：根节点到节点的路径所包含的边数，即从上往下数。
节点的层数：节点的深度+1（根节点的层数是1）。
树的高度：等于根节点的高度。
2. 二叉树的定义
每个节点最多只有2个子节点的树，这两个节点分别是左子节点和右子节点。
3. 二叉树的分类
- 满二叉树
除了叶子节点外，每个节点都有左右两个子节点，这种二叉树叫做满二叉树。 - 完全二叉树
叶子节点都在最底下两层，最后一层叶子节都靠左排列，并且除了最后一层，其他层的节点个数都要达到最大，这种二叉树叫做完全二叉树。 - 其他二叉树
4. 二叉树的存储（或者表示）
- 链式存储
用链表来存储，每个节点由3个字段，其中一个存储数据，另外两个是指向左右子节点的指针。我们只要拎住根节点，就可以通过左右子节点的指针，把整棵树都串起来。这种存储方式比较常用，大部分二叉树代码都是通过这种方式实现的。 - 顺序存储
用数组来存储，对于完全二叉树，如果节点X存储在数组中的下标为i，那么它的左子节点的存储下标为2i，右子节点的下标为2i+1，反过来，下标i/2位置存储的就是该节点的父节点。注意，根节点存储在下标为1的位置。完全二叉树用数组来存储时最省内存的方式。
5. 二叉树的遍历
- 前序遍历：对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它的右子树。
- 中序遍历：对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的本身，最后打印它的右子树。
- 后序遍历：对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的右子树，最后打印它本身。
前序遍历的递推公式：
preOrder® = print r->preOrder(r->left)->preOrder(r->right)
中序遍历的递推公式：
inOrder® = inOrder(r->left)->print r->inOrder(r->right)
后序遍历的递推公式：
postOrder® = postOrder(r->left)->postOrder(r->right)->print r
时间复杂度：3种遍历方式中，每个节点最多会被访问2次，所以时间复杂度是O(n)。
6. 思考
- 二叉树有哪几种存储方式？什么样的二叉树适合用数组来存储？
答：二叉树既可以用链式存储，也可以用数组顺序存储。数组顺序存储的方式比较适合完全二叉树，其他类型的二叉树用数组存储会比较浪费存储空间。除此之外，二叉树里非常重要的操作就是前、中、后序遍历操作，遍历的时间复杂度是 O(n)。 - 给定一组数据，比如1，3，5，6，9，10。你来算算，可以构建出多少种不同的二叉树？
既然是数组了，说明是完全二叉树，应该有n的阶乘个组合。 - 我们讲了三种二叉树的遍历方式，前、中、后序。实际上，还有另一种遍历方式，也就是按层遍历，你知道如何实现吗？
二叉树按层遍历，可以看作以根结点为起点，图的广度优先遍历的问题。
7. 参考资料
- 王争老师在极客时间的专栏《数据结构与算法之美》
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8. 声明
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