二分，二分查找
用于有序，有单调性的问题
有单调性的问题一定可以用二分法解决，反过来，用二分法能解决的问题不一定有单调性。
整数二分——两种模型
一、两种模型基本原理
两种模型，分别用来查找满足条件的左右界。
l:查找的数据左边界
r:查找的数据右边界
A:满足条件的右界
B:满足条件的左界
模型一：
模型二：
二、模型记忆点
1.模型概括
1）左边满足，求满足右界：
mid=l+r +1/2 ; 满足 l=mid ; 不满足 r=mid -1
2）右边 满足，求满足 左界：
mid=l+r/2 ; 满足 r=mid ; 不满足 l=mid +1
2.记忆点
- 记忆点一：
左边 满足，满足时更新数据 左边界 等于mid
右边 满足，满足时更新数据 右边界 等于mid - 记忆点二：
左边满足时，mid取半要 加1，同时不满足的更新对应 减1；
右边满足时，mid取半 不加1，同时不满足的更新对应 加1；
三、模型细节问题思考
- 问题一：为什么mid一个取l+r+1/2,一个取l+r：
int除法只能得int而且是上取整，即2+1/2结果为1，而不是1.5，不是2。
模板一，若取mid=l+r/2，到最后剩2个数时出现问题，如下图剩余两个m,n
mid=l+r的话，mid指向第一个数，如果m满足条件，l=mid，然而一直l=mid，相当于一直不更新，死循环。
- 问题二：更新（或说是循环）的结果是l，r相遇。
l<r是循环条件，while(l<r)
循环最终结局l=r是唯一可能性吗，r可能小于l吗？
如果不可能，应该也可以下边这么写
while(1){
...
if(l=r) break;
}
四、模型的经典代码模板
yxc给出的代码模板
模型一：
int bsearch_1(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (check(mid)) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return l;
}
模型二：
int bsearch_2(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (check(mid)) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return l;
}
学习到的
l+r>>1中>>表示位运算的“右移”运算，等同于除2，也是向下取整。
如：
int a=11,b; //a二进制为0000 1011
b=a>>2; //b为0000 0101，即为5
五、练习题目
https://www.acwing.com/problem/content/description/791/
我自己用while1, l=r时break写的，结果有错没心情再看了，不知道哪里错：
#include <iostream>
using namespace std;
int find_l(int a[],int x,int l,int r);
int find_r(int a[],int x,int l,int r);
int find_l(int a[],int x,int l,int r){
while(1){
int mid;
mid=l+r>>1;
if(a[mid]>=x) r=mid;
else l=mid+1;
if(l==r) break;
}
if(a[l]==x) return l+1;//最终得出的l是下标，但是求的是第几位所以加1
else return -1;
}
int find_r(int a[],int x,int l,int r){
while(1){
int mid;
mid=l+r+1>>1;
if(a[mid]<=x) l=mid;
else r=mid-1;
if(l==r) break;
}
if(a[l]==x) return l+1;//最终得出的l是下标，但是求的是第几位所以加1
else return -1;
}
int main(){
int n,a[10],b[10],q;
cin>>n>>q;
for(int i=0;i<=n-1;i++) cin>>a[i];
for(int i=0;i<=q-1;i++) cin>>b[i];
for(int i=0;i<=q-1;i++){
cout<<find_l(a,b[i],0,n-1)<<" "<<find_r(a,b[i],0,n-1)<<"\n";
}
return 0;
}
浮点二分
一、基本原理
1.原理类似。
因为不涉及上下取整问题，所以没有取中点需要加加一的问题。
浮点数是线段式的连续，不是整型数的一个一个点，所以更新边界不会加一减一。
2.关于循环条件：因为不断取中点，有可能最终无法达到l=r，有可能l一直小于r，因此循环条件是l<r有可能无法跳出，所以循环条件可以改成l-r的值足够小时，如10^-6。
二、练习题目
求三次方根：https://www.acwing.com/problem/content/792/
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
double f(double a){
double l=0,r,mid;
r=fabs(a);
while(r-l>1e-10){
mid=(l+r)/2.0;
if(mid*mid*mid<=fabs(a)) l=mid;
else r=mid;
}
if(a>=0) return l;
else return -l;
}
int main(){
double a;
cin>>a;
printf("%f\n",f(a));
return 0;
}
学习到的
1.10的几次方怎么写：10的-6次方，1e-6
2.保留5位小数，最后输出时用cout一直报错，改成printf
3.math.h数学库：
取绝对值 fabs(x) 、x的三次方 pow(x)
