Python全栈（二）数据结构和算法之8.快速排序、归并排序和二分查找的实现

一、快速排序

1.定义

又称划分交换排序（partition-exchange sort），通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

2.工作原理

1. 从数列中挑出一个元素，称为"基准"（pivot）；
2. 重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区结束之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作；
3. 递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。

递归的最底部情形，是数列的大小是零或一，也就是永远都已经被排序好了。虽然一直递归下去，但是这个算法总会结束，因为在每次的迭代（iteration）中，它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。
图示分析如图，

动态演示如下，

3.算法实现

def quick_sort(li,start,end):
    '''快速排序'''
    # 递归的退出条件
    if start >= end:
            return
        
    low = start
    high = end
    # 设定起始元素为要寻找位置的基准元素
    mid = li[low]
    while low < high:
        # 如果low与high未重合，high指向的元素不比基准元素小，则high向左移动
        while low < high and li[high] >= mid:
            high -= 1
        # 将high指向的元素放到low的位置上
        li[low] = li[high]
        # 如果low与high未重合，low指向的元素比基准元素小，则low向右移动
        while low < high and li[low] <= mid:
            low += 1
        # 将low指向的元素放到high的位置上
        li[high] = li[low]
    # 退出循环后，low与high重合，此时所指位置为基准元素的正确位置
    # 将基准元素放到该位置
    li[low] = mid
    #对前面的元素进行快排
    quick_sort(li,start,low - 1)
    #对后面的元素进行快排
    quick_sort(li,low + 1,end)

if __name__ == '__main__':
    li = [54, 26, 93, 17, 77, 31, 44, 55, 20]
    quick_sort(li,0,len(li) - 1)
    print(li)

进行测试，结果为[17, 26, 31, 54, 54, 54, 55, 77, 93]。

4.算法分析

时间复杂度：
最优的情况下空间复杂度为：O(logN)；
最差的情况下空间复杂度为：O(N^2)。
稳定性：
因为在快速排序的时候，即使待排序元素与基数相等也需要移动待排序元素的位置使得有序，所以快速排序是不稳定的。

二、归并排序

1.定义

归并排序是采用分治法的一个非常典型的应用，即分而治之。归并排序的思想就是先递归分解数组，再合并数组。

2.工作原理

将数组分解最小之后，然后合并两个有序数组，基本思路是比较两个数组的最前面的数，谁小就先取谁，取了后相应的指针就往后移一位。然后再比较，直至一个数组为空，最后把另一个数组的剩余部分复制过来即可。
动态演示为

3.算法实现

方法一：

def merge_sort(li):
    '''归并排序'''
    # 如果列表长度小于1,不在继续拆分，返回列表
    if len(li) <= 1:
        return li
    #二分分解
    mid_index = len(li) // 2
    left_li = merge_sort(li[:mid_index])
    right_li = merge_sort(li[mid_index:])
    l_index = 0
    r_index = 0
    result = []
    #循环条件
    while l_index < len(left_li) and r_index < len(right_li):
        #left_li和right_li的当前元素进行比较，根据情况分别插入result，索引加1
        if left_li[l_index] < right_li[r_index]:
            result.append(left_li[l_index])
            l_index += 1
        else:
            result.append(right_li[r_index])
            r_index += 1
    #将left_li剩余部分加入数组
    result += left_li[l_index:]
    #将right_li剩余部分加入数组
    result += right_li[r_index:]
    #返回结果
    return result

if __name__ == '__main__':
    li = [54, 26, 93, 17, 77, 31, 44, 55, 20]
    result = merge_sort(li)
    print(result)

进行测试，打印结果为[17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]。
方法二：

def merge_sort(li):
    # 如果列表长度小于1,不在继续拆分
    if len(li) <= 1:
        return li
    # 二分分解
    mid_index = len(li) // 2
    left = merge_sort(li[:mid_index])
    right = merge_sort(li[mid_index:])
    # 合并
    return merge(left,right)

def merge(left, right):
    '''合并操作，将两个有序数组left[]和right[]合并成一个大的有序数组'''
    # left与right的下标指针
    l_index, r_index = 0, 0
    result = []
    while l_index < len(left) and r_index < len(right):
        if left[l_index] < right[r_index]:
            result.append(left[l_index])
            l_index += 1
        else:
            result.append(right[r_index])
            r_index += 1

    result += left[l_index:]
    result += right[r_index:]
    return result

if __name__ == '__main__':
    li = [54, 26, 93, 17, 77, 31, 44, 55, 20]
    result = merge_sort(li)
    print(result)

结果与方法一相同，但是此方法是分成两个子方法来实现，第一个函数进行分解，第二个函数进行合并，实质和方法一一样，只是形式不同。

4.算法分析

时间复杂度：
每次合并操作的时间复杂度是O(N)，而递归的深度是log2N，所以总的时间复杂度是O(N*lgN)。
稳定性：
因为交换元素时，可以在相等的情况下做出不移动的限制，所以归并排序是稳定的。

5.常见排序算法效率比较

如下所示，

三、二分查找

1.搜索定义

搜索是在一个项目集合中找到一个特定项目的算法过程。搜索通常的答案是真的或假的，因为该项目是否存在。 搜索的几种常见方法：顺序查找、二分法查找、二叉树查找、哈希查找。

2.二分查找定义

二分查找又称折半查找，优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好；其缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。

3.工作原理

1. 首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；
2. 否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表；
3. 重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。

图示如下，

4.算法实现

方法一，

def binary_search_1(li,item):
    '''普通二分查找'''
    first = 0
    last = len(li) - 1
    while first <= last:
        mid = (first + last) // 2
        if li[mid] == item:
            return True
        elif item < li[mid]:
            last = mid - 1
        else:
            first = mid + 1
    return False

if __name__ == '__main__':
    #li为有序列表
    li = [17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]
    result1 = binary_search_1(li, 17)
    result2 = binary_search_1(li, 54)
    result3 = binary_search_1(li, 100)
    print(result1,result2,result3)

打印结果为True True False。

方法二，

def binary_search_2(li,item):
    '''递归实现二分查找'''
    if len(li) == 0:
        return False
    else:
        mid = len(li) // 2
        if li[mid] == item:
            return True
        else:
            if item < li[mid]:
                return binary_search_2(li[:mid],item)
            else:
                return binary_search_2(li[mid+1:],item)

if __name__ == '__main__':
    #li为有序列表
    li = [17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]
    result1 = binary_search_2(li, 17)
    result2 = binary_search_2(li, 54)
    result3 = binary_search_2(li, 100)
    print(result1,result2,result3)

此方法为递归方法实现，结果与方法一相同。

5.算法分析

二分查找算法，在n个元素的数组中查找一个数，情况最遭时，需要(log₂n)步，所以二分查找的时间复杂度是O(log₂n)。

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