LeetCode 327. 区间和的个数（multiset二分查找/归并排序）

1. 题目

给定一个整数数组 nums，返回区间和在 [lower, upper] 之间的个数，包含 lower 和 upper。

区间和 S(i, j) 表示在 nums 中，位置从 i 到 j 的元素之和，包含 i 和 j (i ≤ j)。

说明:
最直观的算法复杂度是 O(n2) ，请在此基础上优化你的算法。

示例:
输入: nums = [-2,5,-1], lower = -2, upper = 2,
输出: 3 
解释: 3个区间分别是: [0,0], [2,2], [0,2]，它们表示的和分别为: -2, -1, 2。

来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode-cn.com/problems/count-of-range-sum
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2. 解题

2.1 动态规划超时

• 区间动态规划，超时例子，复杂度太高 $O(n^2)$
• 整型溢出例子[2147483647,-2147483648,-1,0] -1 0
  

class Solution {
public:
    int countRangeSum(vector<int>& nums, int lower, int upper) {
    	if(nums.size() == 0)
    		return 0;
    	int i, j, len, n = nums.size(), count=0;
    	vector<vector<long>> dp(n,vector<long>(n,0));
    	//区间[i,j]的和
    	for(i = 0; i < n; ++i)
    	{
    		dp[i][i] = nums[i];
    		if(lower<=dp[i][i] && dp[i][i]<=upper)
    			count++;
    	}
    	for(len = 1; len < n; ++len)
    	{
    		for(i = 0; i < n-len; ++i)
    		{
    			dp[i][i+len] = dp[i][i+len-1] + dp[i+len][i+len];
    			if(lower<=dp[i][i+len] && dp[i][i+len]<=upper)
    				count++;
    		}
    	}
    	return count;
    }
};

2.2 二分查找

• 参考大佬的解法
• 前缀和 sum， $L \le sum[j]-sum[i] \le U \Rightarrow sum[j]-U\le sum[i] \le sum[j]-L$
• j = 0 时, 上式 sum[i] = 0，sum[i] 可以看做前面的和， sum[j] 当前的和
• 以每个 j 点作为结束的区间，前面哪些 i 到 j 的和在范围内
• 将前次的前缀和插入multiset，有序，可以二分查找
• 查找set中前缀值在 当前 前缀和 $sum[j]$ 上下范围内（ $[sum[j]-U, sum[j]-L]$）的个数

class Solution {
public:
    int countRangeSum(vector<int>& nums, int lower, int upper) {
    	if(nums.size() == 0)
    		return 0;
    	multiset<long> s;
        s.insert(0);
    	int count = 0;
    	long sum = 0;
    	for(int i = 0; i < nums.size(); ++i)
    	{
    		sum += nums[i];
    		count += distance(s.lower_bound(sum-upper), s.upper_bound(sum-lower));
            s.insert(sum);
    	}
    	return count;
    }
};

但是上面解法中distance在set中（不可随机访问）是 O(n)时间复杂度的，所以用数组进行二分查找两个端点，然后做差会更快些。
80 ms 14.4 MB

2.3 归并排序

• 其实归并排序求逆序度是本题的一个特例
• 对前缀和进行归并排序（注意头部要加一个0，用于第一个数的）
• 归并时，固定左边的一个端点，右边有两个指针进行遍历查找

核心代码段：

		int i = l, jlo = mid+1, jup = mid+1;//右侧两个指针
        while(i <= mid)//遍历左侧的端点
        {	
            while(jlo <= r && sum[jlo]-sum[i] < lower)//[i,jlo]不在范围内
                jlo++;
            while(jup <= r && sum[jup]-sum[i] <= upper)//[i,jup]在范围内
                jup++;
            //最后 [jlo,jup) 为在范围内的右端点
            count += jup-jlo;//计数
            i++;//遍历下一个左端点
        }

class Solution {
    vector<long> temp;
public:
    int countRangeSum(vector<int>& nums, int lower, int upper) {
        if(nums.size() == 0)
            return 0;
        vector<long> sum(nums.size()+1, 0);
        temp.resize(nums.size()+1);
        for(int i = 1; i < sum.size(); ++i)
            sum[i] = sum[i-1] + nums[i-1];
        return mergeSort(sum,0,sum.size()-1,lower,upper);
    }

    int mergeSort(vector<long>& sum, int l, int r, int lower, int upper)
    {
        if(l >= r)
            return 0;
        int mid = l+((r-l)>>1), count = 0;
        count += mergeSort(sum, l, mid, lower, upper);
        count += mergeSort(sum, mid+1, r, lower, upper);
        int i = l, jlo = mid+1, jup = mid+1;
        while(i <= mid)
        {
            while(jlo <= r && sum[jlo]-sum[i] < lower)
                jlo++;
            while(jup <= r && sum[jup]-sum[i] <= upper)
                jup++;
            count += jup-jlo;
            i++;
        }
        //合并，跟归并排序一致
        i = l; int j = mid+1, k = 0;
        while(i <= mid && j <= r)
        {
            if(sum[i] <= sum[j])
                temp[k++] = sum[i++];
            else
                temp[k++] = sum[j++];
        }
        if(i <= mid)
            while(i <= mid)
                temp[k++] = sum[i++];
        else
            while(j <= r)
                temp[k++] = sum[j++];
        for(i = 0, j = l; i < k; ++i)
            sum[l++] = temp[i];
        return count;
    }
};

28 ms 12.2 MB