位运算技巧总结

一. 概念：位运算是指按二进制进行的运算，只能对整形树进行操作。

二. 基本运算符：

（1） & 与：两个相应的二进制位都为一，则该位结果为1，否则为0 如：0111 & 1011 = 0011

（2）| 或：两个相应的二进制位有一个为1，则该位结果为1，否则为0 如： 0111 | 1011 = 1111

（3）^ 异或：两个相应的二进制位相同则为零，否则为1 如： 0111^1011 = 1100

（4）~ 取反：　一元运算符，将二进制位取反，即１变为０，０变为１　如：~0111 = 1000

（５）<<左移运算符：ｎ<<ｋ，将ｎ的二进制左移ｋ位，低位补０（n*2^k) 如：0111<<1 = 1110

（6）>>右移运算符：n>>k,将n的二进制右移k位，低位被舍弃，高位（左边）补0（n/2^k) 如：0111>>1 = 0011

注：其中~的结合方向自右至左，且优先级高于算术运算符，其余运算符的结合方向都是自左至右，且优先级低于关系运算符。所以在运算时，注意括号的利用。

三. 二进制奇技淫巧

1.集合应用

（1）在集合中： &表示交集，| 表示并集， ^ 表示对称差集，（1<<n)-1表示n的全集

（2）s&(1<<i) 是否为0表示 i是否是子集s中的一个元素（全集从0~n-1）；表示i+1是否是子集s中的一个元素（全集从1~n）

（3）for(int k = (n-1)&n;k;k = (k-1)&n) 从集合角度取n的所有子集

（4）求n个元素的所有子集

    while(cin>>n)
    {
        for(int i = 0; i<(1<<n); i++)//枚举所有子集
        {
            for(int j = 0; j<n; j++)//枚举所有元素判断是否在子集里
            {
                if(s&(1<<i))printf("%d",i+1);
            }
            printf("\n");
        }

    }
    return 0;

（5）求集合或者现有子集的所有子集

    while(cin>>n){
        for(int i = 0;i<(1<<n);i++){//所有子集
            cout<<"集合 "<<i<<" 的所有子集 :"<<endl;
            for(int k = i;k>0;k = (k-1)&i){//所有 现在子集 的 所有子集
                for(int j = 0;j<n;j++){//判断元素
                    if(k&(1<<j))cout<<j+1;
                }
                cout<<endl;
            }
        }
    }

（6）求不相邻元素的所有集合

        for(int i = 0;i<(1<<n);i++){
            if((i>>1)&i)continue;//i里面含有相邻元素，退出
            //对集合的处理
        }

（7）必须含有n个指定位置集合的所有集合

    while(cin>>n){
        int m,k;
        int sum = 0;
        cin>>m;
        while(m--){//求最小指定集合
            cin>>k;
            sum = sum|(1<<(k-1));
        }
        for(int i = sum;i<(1<<n);i = (i+1)|sum){//在sum基础上求所有集合
               //操作
        }
    }

（8）必须不含有n个指定位置集合的所有集合

    while(cin>>n){
        int m,k;
        int sum = 0;
        cin>>m;
        while(m--){
            cin>>k;
            sum = sum|(1<<(k-1));
        }
        sum = sum^((1<<n)-1);//^取最大集
        //cout<<sum<<endl;
        for(int i = sum;i>=0;i = (i-1)&sum){
            cout<<i<<endl;
            if(i==0)break;//一定要有，不然出现负数的位运算导致循环不断进行
        }
    }

（9）找出二进制中恰好含有 k个1的所有数

for (int mask = 0; mask < 1 << n; ) {

int tmp = mask & -mask;

mask = (mask + tmp) | (((mask ^ (mask + tmp)) >> 2) / tmp);

}

2.其他应用

（1）O（1）时间检查n是否为2的幂次

    while(cin>>n){
            if((n&(n-1))==0)cout<<"yes"<<endl;
            else cout<<"no"<<endl;
    }

（2）一个数组里，所有的数字都出现两次，只有一个数字出现一次，找出这个数字

    while(cin>>n){
            int sum,a;
            for(int i = 0;i<n;i++){
                cin>>a;
                if(i==0)sum = a;
                else sum = sum^a;//所有数字异或起来-〉异或的性质：自己异或自己为0，0异或n = n;
            }
        cout<<sum<<endl;
     }

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