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一、什么是博弈？
博弈：有若干堆物体（可以是火柴棍或是围棋子等等）两个人轮流从堆中取物体若干，规定最后取光物体者取胜。
- 由于博弈双方都能做出最优决策，所以游戏刚开始就意味着结束（好惨，一点游戏体验都没有~），因此博弈能否胜利取决于当前的局面
- 局面是博弈里面最最最重要的东西！！！（所谓SG也是指这一局面的SG），因为双方均采取最优策略，故而局面必然会以双方当前对自己最优的路径走下去，所以结局已经确定了，每个局面也是固定的
- 因此为了得到最优决策，我们可以从最后已得到胜负的局面逆推而来（也就是从一个已知胜负的局面一步步推导其他的局面，有了这样的思想，SG也就相对好理解，即递推思想）
- 必胜点和必败点
P点：必败点，换而言之，就是谁处于此位置，则在双方操作正确的情况下必败。
N点：必胜点，处于此情况下，双方操作均正确的情况下必胜。 - 必胜点和必败点的性质：
1、所有终结点是 必败点 P 。（我们以此为基本前提进行推理，换句话说，我们以此为假设）
2、从任何必胜点N 操作，至少有一种方式可以进入必败点 P。
3、无论如何操作，必败点P 都只能进入 必胜点 N。
二、Sprague-Grundy定理（SG定理）
1.SG值：一个不等于它的后继点的SG值的且大于等于零的最小整数。
后继点：也就是按照题目要求的走法（比如取石子可以取的数量，方法）能够走一步达到的那个点。挑程里对SG值的解释：除任意一步所能转移到的子局面的SG值以外的最小非负整数。从这可以看出这里对SG的定义是递归定义的。
2.SG的作用。通过递归求出每一个局面为胜态还是败态 若sg[x] = 0,那么x是败态
3.总堆的SG函数值等于各个堆的SG函数值的Nim和（异或和）。Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用，因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。
SG函数
mex(minimal excludant)运算：表示最小的不属于这个集合的非负整数。
例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。里面存放的是该点后继点的SG值的集合。对于任意状态 x ， 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如x有三个后继状态分别为SG(a),SG(b),SG( c)
那SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG( c) }。这样 集合S 的终态必然是空集，所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。
【实例】取石子问题
有1堆n个的石子，每次只能取{ 1, 3, 4 }个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？
SG[0]=0，f[]={1,3,4},
x=1 时，可以取走1 - f{1}个石子，剩余{0}个，所以 SG[1] = mex{ SG[0] }= mex{0} = 1;
x=2 时，可以取走2 - f{1}个石子，剩余{1}个，所以 SG[2] = mex{ SG[1] }= mex{1} = 0;
x=3 时，可以取走3 - f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，所以 SG[3] = mex{SG[2],SG[0]} = mex{0,0} =1;
x=4 时，可以取走4- f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，所以 SG[4] = mex{SG[3],SG[1],SG[0]} = mex{1,1,0} = 2;
x=5 时，可以取走5 - f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，所以SG[5] = mex{SG[4],SG[2],SG[1]} =mex{2,0,1} = 3;
以此类推……
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8….
SG[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1….
由上述实例我们就可以得到SG函数值求解步骤，那么计算1~n的SG函数值步骤如下：
1、使用 数组f 将 可改变当前状态 的方式记录下来。
2、然后我们使用 另一个数组 将当前状态x 的后继状态标记。
3、最后模拟mex运算，也就是我们在标记值中 搜索 未被标记值 的最小值，将其赋值给SG(x)。
4、我们不断的重复 2 - 3 的步骤，就完成了 计算1~n 的函数值。
三。巴什博奕（Bash Game）（同余理论）
定义：只有 一堆 n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。当n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者胜。
因此：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。这个游戏还可以有两种变相的玩法：
- 1.减法博弈 两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。
- 2.初始状态下有石子n个，除最后一次外其他每次取物品个数必须在[p，q]之间，最后一次取硬币的人输。（HDU 2897 邂逅明下）这题状态稍微复杂一些，并且胜负条件与之前相反，一般bash博弈里每次取个数可以看作在[1,m]之间，胜负手判断为 n %
(1+m)。因此我们可以猜想每次取[p,q]的胜负手判断为 n % (p+q)，通过验证猜想我们可以发现如下策略：
1.n=k∗(p+q)时，先手第一次取 q 个，随后的回合若后手取 x 个，先手再取 p+q−x个，那么最后就会留给后手 p 个，先手胜**。
2.n=k∗(p+q)+s时，则要分情况考虑：
若 s 在[1,p]之间，先手取 x，后手可以取 p+q−x，最后留给先手 s 个，后手胜；
若 s 在(p,p+q)之间，先手任取 x 个 (1≤s−x
比如16个硬币 [p,q]=[3,5]
先手取5个，后手无论取多少，先手都能够把硬币数目限制到3.
如果有9（s=1<3）个呢？先手无论取多少个，后手都可以把数目限制到<3；
当然如果有12(s=3)个 先手任取x<s个，都可以转化为s在[1,p]之间，让后手先取的情况。
四.尼姆博弈（Nimm Game）（异或理论）
定义：有任意堆物品，每堆物品的个数是任意的，双方轮流从中取物品，每一次只能从一堆物品中取部分或全部物品，最少取一件，取到最后一件物品的人获胜。
以三堆物品为例：我们用（ak, bk, ck）（ak ≤ bk ≤ ck,k=0，1，2，…,n)表示三堆物品的数量并称其为局势，无论谁面对局势（0，0， 0），都已经输了，这种局势我们称为奇异局势。
奇异局势有如下三条性质：
1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
3。采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。
本题（0，n，n）也是一个奇异局势，只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情形。
计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，我们用符号（+）表示这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看（1，2，3）的按位模2加的结果：
1 =二进制01
2 =二进制10
3 =二进制11 （+）
———————
0 =二进制00 （注意不进位）
对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。
任何奇异局势（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。
如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设 a < b < c,我们只要将c变为 a（+）b,即可,因为有如下的运算结果: a（+）b（+）(a（+）b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。要将c 变为a（+）b，只要从 c中减去 c-（a（+）b）即可。
例1。（14，21，39），14（+）21=27，39-27=12，所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势（14，21，27）。
例2。（55，81，121），55（+）81=102，121-102=19，所以从121中拿走19个物品就形成了奇异局势（55，81，102）。
例3。（29，45，58），29（+）45=48，58-48=10，从58中拿走10个，变为（29，45，48）。
例4。我们来实际进行一盘比赛看看：
甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇异局势
乙:(1,8,9)->(1,8,4)
甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇异局势
乙:(1,5,4)->(1,4,4)
甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇异局势
乙:(0,4,4)->(0,4,2)
甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇异局势
乙:(0,2,2)->(0,2,1)
甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇异局势
乙:(0,1,1)->(0,1,0)
甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇异局势
甲胜。
- 令 s = a1^a2^a3….^an(^符号表示异或运算)
- 若 s = 0,则此局面为败态，否则为胜态
- 无论是胜态还是败态，当从一个石堆拿走一些石头（即改变一个ai，改变量大于等于1），一定会发生胜态和败态的转变。当他与sg结合， 我们发现sg异或和为0的状态也是败态，否则胜态。
结论就是：把每堆物品数将其转化为二进制形式并全部异或起来，如果得到的值为0，那么先手必败，否则先手必胜。代码模板
五.威佐夫博弈（Wythoff’s Game）（黄金分割）
有两堆各若干的物品，两人轮流从其中一堆取至少一件物品，至多不限，或从两堆中同时取相同件物品，规定最后取完者胜利。
这里的必输局势：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）直接说结论了，若两堆物品的初始值为（x，y），且x < y，则令z=y-x；记w=（int）[（（sqrt（5）+1）/2）*z ]；若w=x，则先手必败，否则先手必胜。
其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1.618…,因此,由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。代码模板
