洛谷P3270 [JLOI2016]成绩比较

链接

点击跳转

题解

这题感觉思路挺直接的，没啥想不到的地方或者是脑筋急转弯，认真仔细一点、把事情想清楚就可以了

用 $f_{ij}$表示考虑了前 $i$个学科，目前有 $j$个人还被主人公给碾压着

考虑 $f_{i-1,k}$怎么转移 $f_{i,j}$

显然必须有 $j \le k$，再者必须有 $j \le R_i$

其实事情很简单，先从 $k$个人里面选出 $j$个人，让这些人继续被碾压，这里有个 $\binom{k}{j}$，然后我不是要凑齐 $R_i$个分数比主人公低的吗，这剩下的 $R_i-j$个人必须从 $N-k$个“已经摆脱碾压”的人里面选，也就是 $\binom{N-k}{R_i-j}$。好现在我已经选出了 $R_i$个人成绩比主人公低、 $N-R_i$个人成绩比主人公高。

枚举主人公的成绩 $t$，合法的方案数为 $\sum_{t=1}^{U_i} t^{R_i} (U_i-t)^{N-R_i}$

写出来状态转移方程：

$dp_{i,j} = \sum_{k=j}^N dp_{i-1,k} \binom{k}{j} \binom{N-k}{R_i-j} \sum_{t=1}^{U_i} t^{R_i} (U_i-t)^{N-R_i}$

然后发现后面那一大坨只和 $i$有关，可以提前预处理，所以可以拿出来。令 $f_i = \sum_{t=1}^{U_i} t^{R_i} (U_i-t)^{N-R_i}$

那么
$dp_{i,j} = f_i \sum_{k=j}^N dp_{i-1,k} \binom{k}{j} \binom{N-k}{R_i-j}$

如果求出了 $f_i$，这个 $dp$显然是 $O(n^2m)$的

$f_i$怎么求呢，其实很简单， $t^{R_i} (U_i-t)^{N-R_i}$这个东西就是 $t$的 $N$次多项式，那么当 $t$取前 $U_i$个正整数再求和的时候，这个 $f_i$实际上就是个 $N+1$次多项式

直接拉格朗日插值即可，预处理复杂度 $O(n^2)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#define iinf 0x3f3f3f3f
#define linf (1ll<<60)
#define eps 1e-8
#define maxn 500
#define cl(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define rep(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define drep(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
#define em(x) emplace(x)
#define emb(x) emplace_back(x)
#define emf(x) emplace_front(x)
#define fi first
#define se second
#define de(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<endl
using namespace std;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
ll read(ll x=0)
{
    ll c, f(1);
    for(c=getchar();!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-f;
    for(;isdigit(c);c=getchar())x=x*10+c-0x30;
    return f*x;
}
struct EasyMath
{
    ll prime[maxn], phi[maxn], mu[maxn];
    bool mark[maxn];
    ll fastpow(ll a, ll b, ll c)
    {
        ll t(a%c), ans(1ll);
        for(;b;b>>=1,t=t*t%c)if(b&1)ans=ans*t%c;
        return ans;
    }
    void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
    {
        if(!b){x=1,y=0;return;}
        ll xx, yy;
        exgcd(b,a%b,xx,yy);
        x=yy, y=xx-a/b*yy;
    }
    ll inv(ll x, ll p)  //p是素数
    {return fastpow(x%p,p-2,p);}
    ll inv2(ll a, ll p)
    {
        ll x, y;
        exgcd(a,p,x,y);
        return (x+p)%p;
    }
    void shai(ll N)
    {
        ll i, j;
        for(i=2;i<=N;i++)mark[i]=false;
        *prime=0;
        phi[1]=mu[1]=1;
        for(i=2;i<=N;i++)
        {
            if(!mark[i])prime[++*prime]=i, mu[i]=-1, phi[i]=i-1;
            for(j=1;j<=*prime and i*prime[j]<=N;j++)
            {
                mark[i*prime[j]]=true;
                if(i%prime[j]==0)
                {
                    phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                    break;
                }
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            }
        }
    }
    ll CRT(vector<ll> a, vector<ll> m) //要求模数两两互质
    {
        ll M=1, ans=0, n=a.size(), i;
        for(i=0;i<n;i++)M*=m[i];
        for(i=0;i<n;i++)(ans+=a[i]*(M/m[i])%M*inv2(M/m[i],m[i]))%=M;
        return ans;
    }
}em;
#define mod 1000000007ll
ll _fact[maxn], inv[maxn], y[maxn], pref[maxn], suf[maxn], f[maxn][maxn], U[maxn], R[maxn],
C[maxn][maxn];
struct LagrangeInterpolation
{
    ll _fact[maxn], inv[maxn], pref[maxn], suf[maxn];
    ll calc(ll n, ll *y, ll X)
    {
        ll i, ans=0;
        X%=mod;
        inv[1]=1; rep(i,2,n)inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
        _fact[0]=1; rep(i,1,n)_fact[i]=_fact[i-1]*inv[i]%mod;
        pref[0]=X, suf[n+1]=1;
        rep(i,1,n)pref[i]=pref[i-1]*(X-i)%mod;
        drep(i,n,0)suf[i]=suf[i+1]*(X-i)%mod;
        rep(i,0,n)
        {
            ll t=suf[i+1];
            if(i)(t*=pref[i-1])%=mod;
            (t*=_fact[i]*_fact[n-i]%mod)%=mod;
            if(n-i&1)t=-t;
            (ans+=t*y[i]%mod)%=mod;
        }
        return ans;
    }
}lagrange;
int main()
{
    ll i, j, k, N, M, K, t, ans=1;
    N=read()-1, M=read(), K=read();
    rep(i,1,M)U[i]=read();
    rep(i,1,M)R[i]=N-read()+1;
    rep(i,0,maxn-1)C[i][0]=1;
    rep(i,1,maxn-1)rep(j,1,i)C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
    f[0][N]=1;
    rep(i,1,M)
    {
        ll t, S;
        rep(t,1,N+1)y[t]=(em.fastpow(t,R[i],mod)*em.fastpow((U[i]-t),N-R[i],mod)+y[t-1])%mod;
        S=lagrange.calc(N+1,y,U[i]);
        rep(j,0,R[i])
        {
            rep(k,j,N)
            {
                ll tmp=f[i-1][k]*C[k][j]%mod*C[N-k][R[i]-j]%mod, t;
                (tmp*=S)%=mod;
                (f[i][j]+=tmp)%=mod;
            }
        }
    }
    printf("%lld",(f[M][K]+mod)%mod);
    return 0;
}