旅行商问题解法（2019年字节跳动校招笔试算法题“毕业旅行问题”）

问题原型

给定一系列城市和每对城市之间的距离，求推销员从某个城市出发后经过所有城市，然后回到出发城市的最短路径。

为了方便讲解，我们以2019年字节跳动校招笔试题“毕业旅行问题为例”。牛客原链接：https://www.nowcoder.com/profile/4097742/codeBookDetail?submissionId=58509076

题目描述

小明目前在做一份毕业旅行的规划。打算从北京出发，分别去若干个城市，然后再回到北京，每个城市之间均乘坐高铁，且每个城市只去一次。由于经费有限，希望能够通过合理的路线安排尽可能的省一些路上的花销。给定一组城市和每对城市之间的火车票的价钱，找到每个城市只访问一次并返回起点的最小车费花销。

输入描述

城市个数n（1<n≤20，包括北京）
城市间的车票价钱 n行n列的矩阵 m[n][n]

输出描述

最小车费花销 s

示例1

输入

4
0 2 6 5
2 0 4 4
6 4 0 2
5 4 2 0

输出

13

说明

共 4 个城市，城市 1 和城市 1 的车费为0，城市 1 和城市 2 之间的车费为 2，城市 1 和城市 3 之间的车费为 6，城市 1 和城市 4 之间的车费为 5，依次类推。假设任意两个城市之间均有单程票可购买，且票价在1000元以内，无需考虑极端情况。

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这个问题首先需要构造一个图，图的一个对应一座城市，边的权值对应城市到城市之间火车票价格，根据题目描述，这是一个完全图（各个顶点都有一条边两两互相连接），并且各个边没有方向。

这道题一般有两种解法：

• 回溯法
• 动态规划

---

回溯法

把所有的解通过一棵树表达出来，然后通过深度优先遍历，找到一个解的时候就将其记录下来，最后输出最小的解即可。

如图所示，从根节点到叶子节点的所经过的节点就是其路径，每个边的长度之和就是总车票价格。
当然还有一种优化的方法，就是在遍历过程中，如果发现此时路径长度已经超出了之前找到的最小路径长度，就可以进行剪支操作，即不再遍历。

这种方法的时间复杂度为 $O(n!)$，当n大于12之后，其计算时间就已经非常大了。这种方法会因为超时无法通过所有的测试数据。

下面贴出代码：

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
import java.util.concurrent.atomic.AtomicInteger;

public class Main {
 
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int[][] arr = new int[n][n];
        for(int i = 0; i < arr.length; i++) {
            for(int j = 0; j < arr.length; j++) {
                arr[i][j] = sc.nextInt();
            }
        }
 
        boolean[] vis = new boolean[n];  //记录各个城市访问情况
        vis[0] = true;
        AtomicInteger ans = new AtomicInteger(Integer.MAX_VALUE);
        dfs(arr, vis, n, 0, 1, 0, ans);
        System.out.println(ans.get());
    }
 
 	//vn为已经访问的城市数量,local为当前城市编号,price为当前累计票价
    private static void dfs(int[][] arr, boolean[] vis, final int n, int local, 
    		int vn, int price, AtomicInteger ans) {
        if(price > ans.get()) {  //如果此时价格已经超出了之前找到的最小价格，那么进行剪支操作
            return;
        }
 
        if(vn == n) {  //如果已经遍历完成
            int val = price + arr[local][0];  //因为走完所有城市后还要回到起点所以加上arr[local][0]
            if(val < ans.get()) {
                ans.set(val);
            }
            return;
        }
 
        for(int i = 1; i < n; i++) {  //因为起点为0所以无需考虑起点
            if(vis[i])
                continue;
            vis[i] = true;
            dfs(arr, vis, n, i, vn + 1, price + arr[local][i], ans);  //继续遍历
            vis[i] = false;
        }
    }
 
}

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动态规划

我们可以使用动态规划，把一个大问题划分为多个小问题来求解。

例如大问题是从顶点0开始，经过顶点1，2，3然后回到顶点1的最短路程，那么我们可以分割为三个小问题找最优解：

• 从顶点0出发到顶点1，再从顶点1出发，途径2，3城市（不保证访问顺序），然后回到0的最短路径
• 从顶点0出发到顶点2，再从顶点2出发，途径1，3城市，然后回到0的最短路径
• 从顶点0出发到顶点3，再从顶点3出发，途径1，2城市，然后回到0的最短路径

这三个小问题对应的最小值就是问题的最优解。

知道怎么划分子问题后，接下来就是找状态转移方程。

我们定义 $dp[n]\{p_1,p_2,...,p_m\}$ 为从城市 $n$ 出发，途径城市 $p_1,p_2,...,p_m$（不保证访问城市的顺序）然后回到城市0的最短路径。按照上述划分问题的方法，我们可以推导出：

$dp[n]\{p_1,p_2,...,p_m\}= min(dp[p_1]\{p_2,...,p_m\}+D_{p_1}^n, dp[p_2]\{p_1,p_3,...,p_m\}+D_{p_2}^n,......,dp[p_m]\{p_1,p_2,...p_{m-1}\}+D_{p_m}^n)$

其中， $D_y^x$ 代表从城市 $x$ 到城市 $y$ 的距离。

显然对于上述例子而言，其最终的解为 $dp[0]\{1,2,3\}$ 的值，为了求出该解，我们只需要求出 $dp[1]\{2,3\} + D_1^0$， $dp[2]\{1,3\} + D_2^0$， $dp[3]\{1,2\}+D_3^0$ 的最小值即可。
同样，求出 $dp[1]\{2,3\}$ 只需要求出 $dp[2]\{3\}$ 即可，而 $dp[2]\{3\}=dp[3]\{\}+D_3^2$， $dp[3]\{\}$ 代表从城市3回到起点的距离，也就是 $dp[3]\{\}=D_0^3$。

那么如何建立一个数组来表达上述状态转移方程呢？
我们可以使用状态压缩的方法，用一个int数字的每一位来表达 $dp[n]\{p_1,p_2,...,p_m\}$ 中的 $\{p_1,p_2,...,p_m\}$，即 $p_m$是否存在等价于该int数字的第m位是否为1，所以一个int数字可以表达 $\{p_1,p_2,...,p_{32}\}$，即32个城市。在刚才的字节跳动笔试题中，题目已经给出 $n\leq20$，所以使用一个int数字已经足够了。所以最后，dp数组的宽度为城市的数量 $x$，长度为 $2^{x-1}$。

所以该算法的时间复杂度为 $O(2^nn^2)$，空间复杂度为 $O(2^n)$，虽然看上去时间复杂度还是很大，但好在基数 $n$ 并不大，所以一般在 $n<20$几秒钟就能解决问题。要知道在 $n=20$的时候，和回溯法相比理论效率提高了50亿倍，时间开销小了很多。

解决数组问题后，接下来就是建立初始状态。
刚才已经说过 $dp[n]\{\}=D_0^n$，所以我们可以把各个城市n到起点的距离 $D_0^n$赋值给 $dp[n][0]$：

int[][] dp = new int[n][1 << (n - 1)];
for(int i = 0; i < n; i++) {
	dp[i][0] = map[i][0];
}

接下来就是考虑如何填充dp表。
首先，我们现在已知 $dp[1]\{\},dp[2]\{\},...,dp[n]\{\}$的值
例如选定 $dp[1]\{\}$，我们可以直接推导出 $dp[0]\{1\},dp[2]\{1\},...,dp[m]\{1\}$（因为 $dp[n]\{1\}=dp[1]\{\}+D_1^m$）
同理选定 $dp[n]\{\}$，我们可以直接推导出 $dp[0]\{n\},dp[2]\{n\},...,dp[m]\{n\}$（因为 $dp[m]\{n\}=dp[m]\{\}+D_n^m$）

所以第一个循环为遍历城市集合，即依次遍历 $\{1\},\{2\},\{1,2\},\{3\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\},...,\{1,...,n\}$，因为只有根据小的集合才能推导出大的集合，将这个集合 $P$ 对应的int数赋值为 $X$（下列代码中为p）：

for (int p = 1; p < 1 << (n - 1); p++) {
	//...
}

第二个循环选择起点城市（当然起点城市不能包含在 $P$ 中 ），并将起始城市赋值给变量 $i$，此时城市集合和起点城市就选定好了，也就是我们要计算的 $dp[i][p]$：

for (int p = 1; p < 1 << (n - 1); p++) {  //遍历所有集合
	for (int i = 0; i < n; i++) {  //选定一个起点城市
		if(self(i, p)) {  //起点城市不能包含在P中 
        	continue;
        }
        //...
    }
}

如何计算 $dp[i][p]$呢，我们之前之前提过：
$dp[n]\{p_1,p_2,...,p_m\}= min(dp[p_1]\{p_2,...,p_m\}+D_{p_1}^n, dp[p_2]\{p_1,p_3,...,p_m\}+D_{p_2}^n,......,dp[p_m]\{p_1,p_2,...p_{m-1}\}+D_{p_m}^n)$

所以第三个循环就是从集合 $P$ 中选取每个城市作为子问题的起点 $p_x$，也就是需要计算 $dp[p_x]\{U\}$（集合 $U$ 为不包含 $p_x$的集合 $P$）

所以我们遍历的时候只需要将这个子问题中城市的起点 $p_x$所对应的位标为0就可以了，在标为0后，其集合 $U$对应的数值必然小于 $X$，肯定是之前循环已经计算好的结果，然后我们再将其加上 $D_{p_x}^i$就可以作为子问题的解了，计算完所有子问题后，我们将这些子问题的最小值作为 $dp[i][p]$的值，也就是最优解。

for (int p = 1; p < 1 << (n - 1); p++) {  //遍历所有集合
	for (int i = 0; i < n; i++) {  //选定一个起点城市
		dp[i][p] = Integer.MAX_VALUE >> 1;
		if(self(i, p)) {  //当然起点城市不能包含在P中 
        	continue;
        }
        for (int k = 1; k < n; k++) {  //依次枚举子问题,选取城市k为子问题的起点
            if(visit(k, p)) {  //判断城市k是否在集合p中
            	int op = unmark(p, k);  //将起点k对应的位标为0
                dp[i][p] = Math.min(dp[i][p], dp[k][op] + map[i][k]);
        	}
        }
    }
}

最终代码如下：

public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int[][] map = new int[n][n];
        for(int i = 0; i < map.length; i++) {
            for(int j = 0; j < map.length; j++) {
                map[i][j] = sc.nextInt();
            }
        }

        int[][] dp = new int[n][1 << (n - 1)];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i][0] = map[i][0];
        }

        for (int p = 1; p < 1 << (n - 1); p++) {  //遍历所有集合
            for (int i = 0; i < n; i++) {  //选定一个起点城市
                dp[i][p] = Integer.MAX_VALUE >> 1;  //除以2防止计算时越界
                if(self(i, p)) {  //城市i不能出现在集合p中，因为i是起点
                    continue;
                }
                for (int k = 1; k < n; k++) {  //依次枚举子问题
                    if(visit(k, p)) {  //判断城市k是否在集合p中
                        int op = unmark(p, k);
                        dp[i][p] = Math.min(dp[i][p], dp[k][op] + map[i][k]);
                    }
                }
            }
        }

        System.out.println(dp[0][(1 << (n - 1)) - 1]);
    }


    private static boolean self(int city, int p) {  //对城市0统一返回false
        return (p & (1 << (city - 1))) != 0;
    }

    private static boolean visit(int city, int p) {
        return self(city, p);
    }

    private static int unmark(int p, int city) {
        return (p & (~(1 << (city - 1))));
    }
}