租用游艇问题
| 成绩 | 10 | 开启时间 | 2020年03月24日 星期二 23:15 |
| 折扣 | 0.8 | 折扣时间 | 2020年04月21日 星期二 23:55 |
| 允许迟交 | 否 | 关闭时间 | 2020年04月21日 星期二 23:55 |
问题描述: 长江游艇俱乐部在长江上设置了n个游艇出租站1,2,…,n. 游客可在这些游艇出租站租用游艇, 并在下游的任何一个游艇出租站归还游艇. 游艇出租站i到出租站j之间的租金为r(i,j), 1<=i<j<=n. 试设计一个算法, 计算出从游艇出租站1到游艇出租站n所需的最少租金, 并分析算法的计算复杂性.
算法设计: 对于给定的游艇出租站i到游艇出租站j的租金r(i,j), 1<=i<j<=n. 计算出租站1到n所需的最少租金.
数据输入: 第1行有一个正整数n, n<=200, 表示有n个游艇出租站. 接下来n-1行是r(i,j), 1<=i<j<=n.
结果输出: 游艇出租站1到n最少租金.
| 测试输入 | 期待的输出 | 时间限制 | 内存限制 | 额外进程 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 测试用例 1 |
|
|
1秒 | 64M | 0 |
本题可以说是区间DP | 1：矩阵链乘问题（含优化） —— 例题：矩阵链乘、合并石子的一个小小部分（看完这一题再去看链接就豁然开朗~）。不过我是A完了那一题再来些这个的，就是一个入门级的DP，小菜一碟啦~
处理输入
一个有n个节点组成的线段，给出了任意两不同节点之间的收费r。对节点分别编号为 1..n，可以用二维数组 r[ i ][ j ] 表示节点 i 到节点 j 的收费r。
动态分析
其实对于一个长度为 l 的线段 r[ i ][ j ] (其中有j = i + l)，它可以由两段长度小于 l 的子线段组成，且若要原线段是最优解（花费为最小值），其两个子线段也应该是最优解。故此模型满足最优子结构的性质，且容易看出，很多子结构是重叠的，此模型又具备重叠子问题的性质。故，本题采用动态规划求解啦~
模型建立
采用一个二维数组 dp[ i ][ j ] 记录节点 i 到节点 j 的最优解（最小收费r）。根据上面对最优子结构分析，我们应该先求出子问题的最优解再推断出原问题的最优解，故可以使用自底向上的方法来实现。先从 l = 2 开始分析，依次上推到 l = n即得到答案 dp[1][n]。状态转移方程如下：
不要忽略了节点 i 到节点 j 不划分子问题的情况，直接取r[ i ][ j ]。为方便起见，我们将dp[ i ][ j ]先赋值为r[ i ][ j ]即可，之后在比较的过程中会选取最小的。
完整AC代码
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define MAXN 205
using namespace std;
int main() {
int n, r[MAXN][MAXN], dp[MAXN][MAXN];
scanf("%d", &n);
/* 处理输入 */
for (int i = 1; i < n; i++)
for (int j = i + 1; j <= n; j++)
scanf("%d", &r[i][j]);
/* 自底向上求解 */
for (int l = 1; l < n; l++) { //长度l:1..n
for (int i = 1; i <= n - l; i++) { //遍历所有长度为l的情况
int j = i + l;
dp[i][j] = r[i][j]; //赋予初值（不断开的情况）
for (int k = i + 1; k < j; k++) //寻找中间点断开，更新最优的
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]);
}
}
printf("%d\n", dp[1][n]);
}
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end
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