背包问题入门 第一讲（DP入门）

  01背包问题


给定N种物品和一个背包。 物品i的重量是Wi,其价值位Vi ，背包的容量为M。问应该如何选择装入背包的物品，使得转入背包的物品的总价值为最大？？

在选择物品的时候，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入多次，也不能只装入物品的一部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。


思路：用V(i,j)表示将前i种物品放入容量为j的背包中能得到的最大价值，则 V(i,0) = V(0,j) = 0。对于第i种物品，有装入和不装入2种情况。当Wi > j时，背包容量不足，只能选择不装入。此时V(i,j) = V(i-1,j)。当Wi <= j时，此时需要统计装入和不装入第i种物品这两种情况下的价值，最后取较大者作为V(i,j)的值。此时V(i,j) = max{V(i-1,j)，V(i-1,j-Wi)+Vi}。综上，可以列出状态转换方程为

V(i-1,j) ，Wi > j，1 <= i <= N

V(i,j) = {

max{ V(i-1,j)，V(i-1,j-Wi)+Vi } ，Wi <= j <= M，1 <= i <= N

题目描述

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6。现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

思路：首先构造一个二维数组V[m][n],m = #{a,b,c,d,e}+1,n = 10+1.然后初始化v[i][0] = v[0][j] = 0(0 <= i < m ,0 <= j < n)。再根据上面的状态转换方程依次填写二维数组的每一个值（按照先填列再填行的顺序）,那么二维数组的最后的一个值即是最大的价值总和。

示例代码如下：

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1. #include<iostream>  
2. #include<vector>  
3. using namespace std;  
4.   
5. int MaxValueUseDP(int(&wei)[5], int(&val)[5], int limit)  //参数名前有&,参数按照传引用的方式传递
6. {  
7.     int sz = sizeof(wei) / sizeof(int);  
8.     int m = sz + 1;  
9.     int n = limit + 1;  
10.     int ret = 0;  
11.     //声明m行n列的二维动态数组  
12.     vector<vector<int> >V(m, vector<int>(n));  
13.     V.reserve(50);  
14.     //初始化  
15.     for (int i = 0; i < m; ++i)  
16.         V[i][0] = 0;  
17.     for (int j = 0; j < n; ++j)  
18.         V[0][j] = 0;  
19.     //按先列后行的顺序遍历赋值  
20.     for (int j = 1; j < n; ++j)  
21.         for (int i = 1; i < m; ++i)  
22.         {  
23.             if (wei[i-1] > j)  
24.                 V[i][j] = V[i - 1][j];  
25.             else  
26.             {  
27.                 int tmp = V[i - 1][j - wei[i-1]] + val[i-1];  
28.                 int max = V[i - 1][j] > tmp ? V[i - 1][j] : tmp;  
29.                 V[i][j] = max;  
30.             }  
31.         }  
32.     ret = V[m-1][n-1];  
33.     return ret;  
34. }  
35.   
36. int main()  
37. {  
38.     int Wi[5] = { 2,2,6,5,4 };  
39.     int Vi[5] = { 6,3,5,4,6 };  
40.     int MaxWeight = 10;  
41.     cout << MaxValueUseDP(Wi, Vi, MaxWeight) << endl;  
42.     return 0;  
43. }  

说明：被调函数的形参设为含有5个int类型元素数组的引用，限制了传入实参只能是 含有5个int类型元素的数组。

运行结果见下图：

转载自http://blog.csdn.net/yfainaer/article/details/68067720