Catalog：
二项式分布
二项分布是由伯努利提出的概念，指的是重复n次独立的伯努利试验。基本假设条件为：重复实验之间相互独立。若单次实验成功的概率为p，失败为1-p，那么n次实验成功k次的概率为：
$\binom{n}{k}p^{k}\left ( 1-p \right )^{n-k}$
泊松分布
泊松分布在统计学的角度上可以看作二项式分布从离散到连续的推广。假设随机事件发生的时间超级短，我们认为它是瞬时发生的，且在时间轴上是连续的，那么从二项式分布的角度有如下思考：事件要么发生要么不发生，发生的概率为p，不发生的概率为1-p，假设我们将时间轴划分为n份，每一份发生概率为p，不发生概率为1-p，那么总共发生k次的概率为：
$P\left ( X= k \right )=\binom{n}{k}p^{k}\left ( 1-p \right )^{n-k}$
此时的时间轴是离散的，因为我们为了和二项式分布靠拢，分成了n份，如果n趋向于无穷大呢？首先p值会变小，因为区间越大，质量分布应该越大。对分割取极限有：
$P\left ( X= k \right )= \lim_{n \to \infty }\binom{n}{k}p^{k}\left ( 1-p \right )^{n-k}$
若n份切割的发生期望为$\mu $，那么我们可以将p写为$\frac{\mu }{n}$。上式可以分割为两部分的乘积：
$P\left ( X= k \right )= \lim_{n \to \infty }\binom{n}{k}\left (\frac{\mu }{n} \right )^{k}\cdot \lim_{n \to \infty }\left ( 1-\frac{\mu }{n} \right )^{n-k}$
其中：
$\lim_{n \to \infty }\binom{n}{k}\left (\frac{\mu }{n} \right )^{k}= \lim_{n \to \infty}\frac{\mu ^{k}}{k!}\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\cdots \frac{n-k+1}{n}= \frac{\mu ^{k}}{k!}$
$\lim_{n \to \infty }\left ( 1-\frac{\mu }{n} \right )^{n-k}= \lim_{n \to \infty}\left ( 1-\frac{\mu }{n} \right )^{n}\cdot \left ( 1-\frac{\mu }{n} \right )^{-k}= e^{-\mu }$
所以有，连续轴上发生k次的概率为：
$P\left ( X= k \right )= \frac{\lambda^{k}}{k!}\cdot e^{-\lambda}$
注意这里的$\lambda$和$\mu$是等价的，上式我们称之为泊松分布的分布率。
二项分布与泊松分布的关系
当n很大，p很小时，二项分布可以由泊松分布近似计算。
$P\left ( X= k \right )= \binom{n}{k}p^{k}\left ( 1-p \right )^{n-k}= \frac{\lambda^{k}}{k!}\cdot e^{-\lambda}$
参考文献：泊松分布的现实意义是什么，为什么现实生活多数服从于泊松分布？