数据结构——二叉查找树（Binary Search Tree）

二叉查找树

二叉查找树是二叉树中最常用的一种类型，也叫二叉搜索树。

顾名思义，二叉查找树是为了实现快速查找而生的。

实际上它除了支持快速查找一个数据，还支持快速插入、删除一个数据。

之所以能支持这些，依赖于二叉查找树的特殊结构。

二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，左子树的每个节点的值都要小于该节点的值，右子树的节点值都大于这个节点的值。

二叉树查找树的查找操作

先取根节点，如果它等于我们要查找的数据，那就返回。

如果要查找的数据比根节点的值小，那就在左子树中递归查找；

如果要查找的数据比根节点的值大，那就在右子树中递归查找。

二叉查找树的插入操作

二叉查找树的插入过程有点类似查找操作。

新插入的数据一般都是在叶子节点上，需要从根节点开始，依次比较要插入的数据和节点的大小关系。

如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将新数据直接插到右子节点的位置；

如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入位置。

同理，如果要插入的数据比节点数值小，并且节点的左子树为空，就将新数据插入到左子节点的位置；

如果不为空，就再递归遍历左子树，查找插入位置。

二叉查找树的删除操作

删除操作相对于查找和插入操作来说比较复杂，需要分三种情况处理。

第一种情况是，如果要删除的节点没有子节点，我们只需要直接将父节点中，指向要删除节点的指针置为 null。（比如图中的删除节点 55）

第二种情况是，如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点），我们只需要更新父节点中，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。(比如图中的删除节点 13)

第三种情况是，如果要删除的节点有两个子节点，这就比较复杂了。我们需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是最小节点了），所以，我们可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。(比如图中的删除节点 18)

二叉查找树的其他操作

二叉查找树除了查找插入删除操作之外，还有很多操作，例如支持快速地查找最大节点和最小节点、前驱节点和后继节点。

二叉树有一个重要的特性，中序遍历二叉查找树，可以输出有序的数据序列，时间复杂度是 O(n)，非常高效。

正因为如此，二叉查找树也叫做二叉排序树。

public class BinarySearchTree {
  private Node tree;

  public Node find(int data) {
    Node p = tree;
    while (p != null) {
      if (data < p.data) p = p.left;
      else if (data > p.data) p = p.right;
      else return p;
    }
    return null;
  }
  
  public void insert(int data) {
    if (tree == null) {
      tree = new Node(data);
      return;
    }

    Node p = tree;
    while (p != null) {
      if (data > p.data) {
        if (p.right == null) {
          p.right = new Node(data);
          return;
        }
        p = p.right;
      } else { // data < p.data
        if (p.left == null) {
          p.left = new Node(data);
          return;
        }
        p = p.left;
      }
    }
  }

  public void delete(int data) {
    Node p = tree; // p指向要删除的节点，初始化指向根节点
    Node pp = null; // pp记录的是p的父节点
    while (p != null && p.data != data) {
      pp = p;
      if (data > p.data) p = p.right;
      else p = p.left;
    }
    if (p == null) return; // 没有找到

    // 要删除的节点有两个子节点
    if (p.left != null && p.right != null) { // 查找右子树中最小节点
      Node minP = p.right;
      Node minPP = p; // minPP表示minP的父节点
      while (minP.left != null) {
        minPP = minP;
        minP = minP.left;
      }
      p.data = minP.data; // 将minP的数据替换到p中
      p = minP; // 下面就变成了删除minP了
      pp = minPP;
    }

    // 删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点
    Node child; // p的子节点
    if (p.left != null) child = p.left;
    else if (p.right != null) child = p.right;
    else child = null;

    if (pp == null) tree = child; // 删除的是根节点
    else if (pp.left == p) pp.left = child;
    else pp.right = child;
  }

  public Node findMin() {
    if (tree == null) return null;
    Node p = tree;
    while (p.left != null) {
      p = p.left;
    }
    return p;
  }

  public Node findMax() {
    if (tree == null) return null;
    Node p = tree;
    while (p.right != null) {
      p = p.right;
    }
    return p;
  }
  
  public static class Node {
    private int data;
    private Node left;
    private Node right;

    public Node(int data) {
      this.data = data;
    }
  }
}

二叉查找树的时间复杂度分析

二叉查找树的形态各式各样，对同一组数据，不同形态的二叉查找树的查找、插入、删除操作的执行效率都是不一样的。

图中第一种二叉查找树，根节点的左右子树极度不平衡，已经退化成了链表，所以查找的时间复杂度就变成了 O(n)。 

这是二叉查找树最糟糕的情况，还有最理想的情况，就是二叉查找树是一棵完全二叉树（或满二叉树）的时候。

不论是插入、删除还是查找，时间复杂度其实都跟树的高度成正比，也就是 O(height)。

如何求一棵包含 n 个节点的完全二叉树的高度？

包含 n 个节点的完全二叉树中，第一层包含 1 个节点，第二层包含 2 个节点，第三层包含 4 个节点。

依次类推，下面一层节点个数是上一层的 2 倍，第 K 层包含的节点个数就是 2^(K-1)。

对于完全二叉树来说，最后一层的节点个数就不遵守上面的规律了。

我们假设最大层数是 L，它包含的节点个数在 1 个到 2^(L-1) 个之间。

n >= 1+2+4+8+...+2^(L-2)+1
n <= 1+2+4+8+...+2^(L-2)+2^(L-1)

根据等比数列求和，L 的范围是[log2(n+1), log2n +1]，完全二叉树的层数小于等于 log2n +1，而树的高度就等于最大层数减一

也就是说，完全二叉树的高度小于等于 log2n。

但是，这只是理想情况，也就是比较平衡的情况。

极度不平衡的二叉查找树，它的查找性能肯定不能满足需求。

我们需要构建一种不管怎么删除、插入数据，在任何时候，都能保持任意节点左右子树都比较平衡的二叉查找树。

此时就需要一种特殊的二叉查找树——平衡二叉查找树

平衡二叉查找树的高度接近 logn，所以插入、删除、查找操作的时间复杂度也比较稳定，是 O(logn)。