[题解] Tenka1 Programmer Contest 2019 E

https://tenka1-2019.contest.atcoder.jp/tasks/tenka1_2019_e

首先所有系数\(\gcd\)的质因子一定是满足条件的。

\(p \mid f(x)\)就相当于\(f(x) \equiv 0 \pmod p\)

然后显然\(f(x) \equiv f(x\bmod p) \pmod p\)

那么\(f(x)\)膜\(p\)不管\(x\)取值如何都为\(0\)当且仅当\(f(0),f(1),\cdots f(p-1) \equiv 0 \pmod p\)

即\(f(x)\)在\(\bmod p\)下有因式\(\prod_{i=0}^{p-1} (x-i)\)。显然\(\prod_{i=0}^{p-1}(x-i) \equiv 0 \pmod p\)

这样我们就可以考虑枚举\(n\)以内的质数\(p\)，然后check，但上面那个式子并不方便，我们想找到一个更简单且与其等价的因式。

与其等价的因式应该是一个\(p\)次多项式

又因为\(p\)是素数，对与\(p\)互质的数\(x\)都有\(x^{p-1} \equiv 1 \pmod p\)，那么\(x^{p-1}-1 \equiv 0 \pmod p\)，所以\(x^p-x \equiv 0 \pmod p\)。我们就找到了一个\((x,p)=1\)时与上面那个柿子等价的东西。

如果\((x,p) \not= 1\)，\(p\)是质数，那么显然有\(p \mid x\)，这种情况\(x^p-x\)还是满足要求的。

所以\(p \mid f(x)\)（不论\(x\)的取值），当且仅当\(f(x)\)有因式\(x^p-x\)。

于是枚举\(n\)以内的质数\(p\)，将系数对\(p\)取模，然后暴力做除法即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define SZ(x) ((int)(x).size())
typedef double db;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;

const int N=5e4+10;

int gcd(int x,int y) {return y?gcd(y,x%y):x;}

int vis[N],ps[N],tn;
void sieve(int n) {
	rep(i,2,n+1) {
		if (!vis[i]) ps[tn++]=i;
		for (int j=0;j<tn&&i*ps[j]<=n;j++) {
			vis[i*ps[j]]=1;
			if (i%ps[j]==0) break;
		}
	}
}

int a[N],n;

bool check(int p) {
	if (a[0]%p) return false;
	static int f[N];
	rep(i,0,n+1) f[i]=(a[i]%p+p)%p;
	per(i,0,n-p+1) {
		int j=i+p;
		f[i+1]=(f[i+1]+f[j])%p;
		f[j]=0;
	}
	rep(i,0,n+1) if (f[i]) return false;
	return true;
}

set<int> ans;

int main() {
#ifdef LOCAL
	freopen("a.in","r",stdin);
#endif
	scanf("%d",&n),sieve(n);
	int g=0;
	per(i,0,n+1) scanf("%d",&a[i]),g=gcd(g,abs(a[i]));
	for (int i=2;i*i<=g;i++) {
		if (g%i==0) {
			ans.insert(i);
			while (g%i==0) g/=i;
		}
	}
	if (g!=1) ans.insert(g);
	rep(i,0,tn) if (check(ps[i])) ans.insert(ps[i]);
	for (auto p:ans) printf("%d\n",p);
	return 0;
}