Tenka Programmer Contest D - Crossing / 构造（附带数学证明）

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题

给定一正整数 $N$ （ $1 \le N \le 10^5$），求是否存在一个集合的集合 $T$ 满足：

• $|T| \in N^*$
• $\forall S_i \in T，S_i \subseteq \{1,2,3,...,N\}$
• $\forall i,j \in [1,|T|]$ 且 $i \neq j$， $|S_i \bigcap S_j|=1$
• $\forall i\in \{1,2,3,...,N\}$， $T$ 中存在恰好两个不同的集合 $S，S'$ 满足 $i \in S$ 且 $i \in S'$

如果存在这样的集合 $T$ ，请先输出 “Yes” （不含引号），
然后接下来一行输出一个正整数表示 $|T|$。
接下来 $|T|$ 行，每行先一个正整数，表示集合中的第 $i$ 个元素 $S_i$ 的大小 $|S_i|$。
接下来 $|S_I|$ 个正整数，表示 $S_i$ 中的元素。
如果不存在满足条件的集合 $T$ ，请输出“No”（不含引号）。
你只需要按照如上方法输出一个满足条件的 $T$ 即可。
$Sample\ ：$
输入：3
输出：
Yes
3
2 1 2
2 1 3
2 2 3

解

构造题。考场上不会证明，只会瞎猜。
手玩小数据，发现 $1$ 可以， $3$ 可以， $6$ 可以，自然会想是不是满足 $\frac {k(k+1)}{2}，k \in N^*$ 的数都可以。然后这类数有个好听的名字叫三角形数¹，所以我就画了这样的三角形：

然后发现可以这样分：

（每个颜色代表一个集合）
这貌似是一种通解，于是我就写了这个代码，就过了，代码如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

#define R register
#define Maxn 100005

int main()
{
	R int n,sum=0;
	scanf("%d",&n);
	for (R int i=1;i<=n;++i)
	{
		sum += i;
		if(sum == n)
		{
			puts("Yes");
			printf("%d\n",i+1);
			R int j=1,cnt1=2;
			for (;j<=n;j+=cnt1,cnt1++)
			{
				printf("%d ",i);
				for (R int k=j-cnt1+2;k<=j;++k)printf("%d ",k);
				R int cnt2=cnt1-1;
				for (R int k=j+cnt2;k<=n;++cnt2,k+=cnt2)printf("%d ",k);
				puts("");
			}
			j=1,cnt1=2;
			printf("%d ",i);
			for (;j<=n;j+=cnt1,cnt1++)printf("%d ",j);
			return 0;
		}
	}
	puts("No");	
	return 0;
}

证明

但是我们不能只满足于猜结论！我们要严格证明！
我们接下来证明两个分结论，从而证明原题结论。

三角形数一定能构造出符合条件的集合T

引理1：若 $\frac{k(k-1)}{2}$ 可以构造，并且构造出来的 $|T|=k$，那么 $\frac{k(k+1)}{2}$ 一定可以构造。
引理1证明：
设前者构造出来的集合组为
$S_1$
$S_2$
$...$
$S_k$
我们按照如下方法给每个集合添加一个数字
$S_1+\{\frac{k(k-1)}{2}+1\}$
$S_2+\{\frac{k(k-1)}{2}+2\}$
$...$
$S_k+\{\frac{k(k+1)}{2}\}$
我们添上的数都是两两不同的，所以这些集合还是满足两两公共元素恰好 1 个。
接下来，我们添的那些元素还要满足恰好出现在 2 个集合中，于是我们再构造一个集合
$S_{k+1}=\{\frac{k(k-1)}{2}+1,\frac{k(k-1)}{2}+2,...,\frac{k(k+1)}{2}\}$
这个集合和前面 $k$ 个集合的公共元素也都是恰好 1 个，并且 $1,2,...,\frac{k(k+1)}{2}$ 这些数都恰好出现在 2 个集合中。因此这是一种合法的构造方案，因此引理1得证。
然后我们知道对于 $1$ 显然可以构造出 $|T|=2$ 的满足条件的 $T$，这样我们根据数学归纳法就证明了原命题。

不是三角形数一定无法构造出满足条件的集合T

对于一个确定的 $N$，假设能构造出集合 $T$
分析可知， $\sum|S| = N+\frac{k(k-1)}{2}$，其中 $k=|T|$
又根据已知条件， $\sum|S| = 2N$
联立，即 $k^2-k-2N=0$，得 $k=\frac{1+\sqrt {8N+1}}{2}$
可以证明当且仅当 $N$ 为三角形数的情况下 $k$ 为整数，也就是说若 $N$ 不为三角形数，则不存在符合条件的 $k$ 。
因此原命题得证。

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1. 三角形数： https://baike.baidu.com/item/三角形数/5836794?fr=aladdin ↩︎