【数据结构】——二叉树的创建、计算叶子结点个数、递归遍历

前面我们讲了关于数据结构中的堆栈问题，这篇文章主要是为大家简要介绍一下二叉树，并实现二叉树的创建、计算叶子结点个数、递归遍历、判断是否是完全二叉树等相关问题~

一、二叉树的介绍

1、什么是二叉树
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

2、二叉树的特点
1、每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
2、二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

3、特殊的二叉树
1、 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k)-1 则它就是满二叉树。

2、 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

二、二叉树的存储结构

1、顺序存储
使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
在这里插入图片描述
2、链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。
在这里插入图片描述

3、二叉树链式结构的实现

1、递归遍历
（1）前序遍历：如果二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。如下图所示，遍历的顺序是：ABDGHCEIF
在这里插入图片描述

代码实现：

void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{
 if(root == NULL)
  return;
 printf("%c",root->_data);//显示结点数据
 BinaryTreePrevOrder(root->_left);//再先序遍历左子树
 BinaryTreePrevOrder(root->_right);//最后先序遍历右子树
}

算法分析：
1、调用BinaryTreePrevOrder(root)函数，根结点不为空，所以执行printf,打印字母A
2、调用BinaryTreePrevOrder(root->_left)，访问了A结点的孩子，不为null，执行printf显示字母B
3、再次调用BinaryTreePrevOrder(root->_left)，访问了B结点的孩子，不为null，执行printf显示字母D
4、再次调用BinaryTreePrevOrder(root->_left)，访问了D结点的孩子，不为null，执行printf显示字母G
以此类推…

(2)中序遍历
和前序遍历算法仅仅是代码上顺序的差异，相当于把调用左孩子的递归函数提前了。

代码实现：

void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{
 if(root == NULL)
  return;
 BinaryTreeInOrder(root->_left);
 printf("%c",root->_data);
 BinaryTreeInOrder(root->_right);
}

（3）后序遍历
同理
代码实现：

void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{
 if(root == NULL)
  return;
 BinaryTreePostOrder(root->_left);
 BinaryTreePostOrder(root->_right);
 printf("%c",root->_data);
}

2、层序遍历

设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
在这里插入图片描述
代码实现：

void  BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
 Queue q;
 QueueInit(&q);
 if(root != NULL)
 {
  QueuePush(&q,root);
  while(QueueEmpty(&q) != 0)
  {
   BTNode* front = QueueFront(&q);
   printf("%c",front->_data);
   QueuePop(&q);
   if(front->_left)
    QueuePush(&q,front->_left);
   if(front->_right)
    QueuePush(&q,front->_right);
  }
  printf("\n");
 }
}

算法分析：
使用队列的方式来存储每一个遍历到的结点值，再依次出队打印。其结果就为程序遍历的结果值。

3、二叉树的创建——通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
为了让每个结点确认是否有左右孩子，对其进行了扩展，也就是将二叉树中每个结点的空指针引出一个虚结点，其值为一个特定值“#”
在这里插入图片描述
也是利用递归的原理，只不过在原来应该打印结点的地方，改成了生成结点，给结点赋值的操作，利用了数组的存储结构来辅助实现
代码实现：

BTNode* BinaryTreeCreate(BTDatatype* array, int* pIndex)
if(array[(*pIndex)] == '#')
 {
  (*pIndex)++;
  return NULL;
 }
 BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
 root->_left = NULL;
 root->_right = NULL;
 root->_data = array[(*pIndex)];

(*pIndex)++;
 root->_left = BinaryTreeCreate(array,pIndex);
 root->_right = BinaryTreeCreate(array,pIndex);
 return root;
 }

4、计算叶子结点的个数
如果二叉树为空则空操作返回空；如果左右孩子为空，则返回根结点个数为1；如果左右孩子不为空，则采用递归的方式，递归调用其左右子树计算其叶子结点个数。

int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
 if(root == NULL)
  return 0;
 if(root ->_left == NULL && root->_right == NULL)
  return 1;
 return  BinaryTreeLeafSize(root->_left) + BinaryTreeLeafSize(root->_right);
}

5、查找结点
依然采用递归的方式

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDatatype x)
{
 BTNode* ret = NULL;
 if(root == NULL)
  return NULL;
 if(root->_data == x)
  return root;
 ret = BinaryTreeFind(root->_left,x);
 if(ret)
  return ret;
 ret = BinaryTreeFind(root->_right,x);
 if(ret)
  return ret;
 return NULL;
}

补充结点定义：

typedef char BTDatatype;
//二叉树结点定义
typedef struct BinaryTreeNode
{
 BTDatatype _data;
 struct BinaryTreeNode* _left;
 struct BinaryTreeNode* _right;
}BTNode;

typedef BTNode* QDataType;
//队列结点定义
typedef struct QueueNode
{
 QDataType _data;
 struct QueueNode* _next;
}QueueNode;

//标志结点
typedef struct Queue
{
 QueueNode* _head;
 QueueNode* _tail;
}Queue;

汪汪要努力呀

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