【算法学习】算法的时间复杂度与空间复杂度

时间复杂度

1.时间频度

一个算法执行所耗费的时间，从理论上来说是不能计算出来的，必须通过上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度，记为T(n)。

2.时间复杂度

在刚才提到的问题当中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。

一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1)。另外，在时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同，如T(n)= $n^2$ +3n+4与T(n)=4 $n^2$ +2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O( $n^2$ )。

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：

常数阶O(1) , 对数阶O( $log_{2}n$ ) , 线性阶O(n) , 线性对数阶O( $nlog_{2}n$ ) , 平方阶O( $n^2$ )，立方阶O( $n^3$ ), k次方阶O( $n^k$ ),指数阶O( $2^{n}$ ).

随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

空间复杂度

与时间复杂度类似，空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。记作: S(n)=O(f(n))

常见的算法时间复杂度

O(1): 表示算法的运行时间为常量
O(n): 表示该算法是线性算法
O(㏒2n): 二分查找算法
O(n2): 对数组进行排序的各种简单算法，例如直接插入排序的算法。
O(n3): 做两个n阶矩阵的乘法运算
O(2n): 求具有n个元素集合的所有子集的算法
O(n!): 求具有N个元素的全排列的算法

时间复杂度计算实例

O(1)

Temp=i;
i=j;
j=temp;

以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

O( $\mathbf{n^2}$ )

语句1：交换i和j的内容

sum=0；                 （一次）
for(i=1;i<=n;i++)       （n+1次 ）
    for(j=1;j<=n;j++)   （n^2次 ）
        sum++；         （n^2次 ）

T(n)=2 $n^2$ +n+1 =O(n^2)

语句2：

for (i=1;i<n;i++)
    {
        y=y+1;         ①   
        for (j=0;j<=(2*n);j++)    
           x++;        ②      
    }

语句1的频度是n-1

语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2 $n^2$ -n-1

f(n)=2 $n^2$ -n-1+(n-1)=2 $n^2$ -2

该程序的时间复杂度T(n)=O( $n^2$ ).

O(n)

    a=0;
    b=1;                      ①
    for (i=1;i<=n;i++) ②
    {  
       s=a+b;　　　　③
       b=a;　　　　　④  
       a=s;　　　　　⑤
    }

语句1的频度：2,

语句2的频度： n,

语句3的频度： n-1,

语句4的频度：n-1,

语句5的频度：n-1,

T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).

$\mathbf{O\left ( log_{2}n\mathbf{} \right )}$

for (int i = 2; i < n; i++) {
        i *= 2;
        printf("%i\n", i);
    }

设循环体的频度是f(n), 则：2^f(n)<=n;f(n)<= $log_{2}n$

取最大值f(n)= $log_{2}n$ ,

T(n)=O( $log_{2}n$ )

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